Równowaga ciał i środek masy — klucz maturalny, poziom rozszerzony
PriorytetBważny po opanowaniu filarów
Częstotliwość1/5arkuszy 2022–2026
Punkty w arkuszuśr. 0,4 pkt (0–2)
Formy zadańkonstrukcja graficzna (2 pkt) z uzasadnieniem odwołującym się do warunków równowagi
🔑 Sygnał: Dwa warunki: siły i momenty; oś obrotu wybierz tam, gdzie znika niewiadoma.
🔒 Zaloguj się, aby zapisywać wyniki zadań tego klucza na swoim koncie.
🎯 Co musisz umieć
stosować oba warunki równowagi: $\sum\vec F=0$ oraz $\sum M=0$,
wyznaczać środek masy układu punktów: $x_{sm}=\dfrac{\sum m_ix_i}{\sum m_i}$,
wyznaczać środek masy graficznie (pion przez punkt zawieszenia),
obliczać siły reakcji podpór belki.
🔍 Jak rozpoznać zadanie
„ciało wisi nieruchomo na szpilce” → środek masy leży na pionie przez punkt zawieszenia,
„belka spoczywa na dwóch podporach” → dwa równania: sił i momentów,
„dźwignia w równowadze” → $F_1r_1=F_2r_2$.
📘 Teoria w pigułce
Warunki równowagi bryły: wypadkowa sił $=0$ i wypadkowy moment sił względem dowolnego punktu $=0$.
Ciało zawieszone swobodnie ustawia się tak, że środek masy znajduje się na pionie przechodzącym przez punkt zawieszenia — inaczej moment siły grawitacji obracałby ciało.
Konstrukcja środka masy: zawieszamy ciało w dwóch różnych punktach i rysujemy piony — przecięcie to środek masy.
Środek masy układu: $x_{sm}=\dfrac{m_1x_1+m_2x_2+\dots}{m_1+m_2+\dots}$; dla ciała jednorodnego i symetrycznego leży na osi symetrii.
Wybór osi momentów jest dowolny — warto wybrać punkt, w którym „znika” nieznana siła.
Równowaga trwała: środek masy podnosi się przy wychyleniu; chwiejna: obniża się.
∑ Najważniejsze wzory
$\sum\vec F=0$
$\sum M=0$
$F_1r_1=F_2r_2$
$x_{sm}=\dfrac{\sum m_ix_i}{\sum m_i}$
⚙️ Algorytm krok po kroku
Narysuj wszystkie siły z punktami przyłożenia.
Wybierz oś obrotu (najlepiej przez nieznaną siłę) i zapisz $\sum M=0$.
Dopisz $\sum F=0$ dla kierunku pionowego (i poziomego).
Rozwiąż układ; sprawdź, czy suma reakcji równa się sumie ciężarów.
W zadaniach graficznych opisz słownie dlaczego rysujesz pion — to punktowana część.
⚠️ Najczęstsze pułapki
Źle
Dobrze
Dlaczego
✗ moment liczony bez ramienia
✓ $M=Fr$, gdzie $r$ to ramię
odległość prostopadła do linii siły
✗ środek masy zawsze w środku figury
✓ tylko dla jednorodnych i symetrycznych
kątomierz to półkole z otworem
✗ sam rysunek bez uzasadnienia
✓ CKE wymaga uzasadnienia
punkt jest za argumentację
✗ jedna oś obrotu z góry narzucona
✓ oś wybierasz dowolnie
wybierz najwygodniejszą
✍️ Przykład wzorcowy typ zadania z warunków równowagi (por. matura 2022 zad. 3)
Jednorodna belka o masie $20$ kg i długości $4$ m spoczywa na dwóch podporach: na lewym końcu i w odległości $1$ m od prawego końca. Na lewym końcu położono ciężarek o masie $10$ kg ($g=10\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$). Oblicz siły nacisku na obie podpory.
Ciężar belki $200$ N działa w środku (w odległości $2$ m od lewego końca), ciężarek $100$ N na lewym końcu. Podpory: w $x=0$ i $x=3$ m.
Momenty względem lewej podpory: $200\cdot2=N_2\cdot3 \Rightarrow N_2=\dfrac{400}{3}\approx133{,}3$ N.
Suma sił: $N_1+N_2=300$ N $\Rightarrow N_1\approx166{,}7$ N.
Odpowiedź: $N_1\approx166{,}7$ N; $N_2\approx133{,}3$ N
Jak CKE przyznaje punkty:
1 pkt — poprawne rozmieszczenie sił (ciężar belki w środku),
2 pkt — zapisanie równania momentów,
3 pkt — obliczenie obu reakcji i sprawdzenie bilansu sił.
📊 Ślad w prawdziwych arkuszach CKE
Zadania autentyczne. Niżej są prawdziwe zadania z arkuszy CKE — numer i punktacja zgodne z oryginalnym arkuszem. Kliknij rok, aby otworzyć cały arkusz.
Zadania autorskie. To nie są przedruki z arkuszy — ułożyliśmy je w formacie maturalnym, na wzorów z tabeli „Ślad w arkuszach CKE” powyżej. Typ, punktacja i poziom trudności odpowiadają realnym zadaniom egzaminacyjnym.
Zadania zamknięte sprawdzają się po kliknięciu odpowiedzi (jedna próba). W otwartych porównaj swoje rozwiązanie z wzorcowym i wystaw samoocenę według schematu punktowania — wynik zapisze się na koncie.
Na dźwigni w odległości $0{,}5$ m od osi działa siła $40$ N. W jakiej odległości od osi po drugiej stronie trzeba przyłożyć siłę $20$ N, aby dźwignia była w równowadze?
Jednorodna deska o masie $12$ kg i długości $3$ m spoczywa na dwóch podporach umieszczonych na jej końcach. W odległości $1$ m od lewego końca stoi ciężarek o masie $6$ kg ($g=10\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$). Oblicz siły nacisku na obie podpory.
Momenty względem lewej podpory: $120\cdot1{,}5+60\cdot1=N_P\cdot3$.
$N_P=\dfrac{180+60}{3}=80$ N.
$N_L=180-80=100$ N.
Odpowiedź: $N_L=100$ N; $N_P=80$ N
Schemat punktowania:
1 pkt — poprawne równanie momentów,
2 pkt — obliczenie obu sił nacisku.
✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś?/ 2 pkt
Kątomierz w kształcie jednorodnego półkola zawieszono swobodnie na szpilce w punkcie $A$ na jego brzegu. Opisz, jak wyznaczyć konstrukcyjnie położenie środka masy $S$ kątomierza, i uzasadnij tę konstrukcję.
Zawieszone swobodnie ciało jest w równowadze, więc moment siły grawitacji względem punktu zawieszenia musi być zerowy.
Jest tak tylko wtedy, gdy środek masy leży na pionie przechodzącym przez punkt zawieszenia — rysujemy ten pion.
Powtarzamy zawieszenie w innym punkcie $B$ i rysujemy drugi pion; przecięcie obu prostych to środek masy $S$.
Odpowiedź: przecięcie dwóch pionów poprowadzonych z dwóch różnych punktów zawieszenia
Schemat punktowania:
1 pkt — stwierdzenie, że środek masy leży na pionie przez punkt zawieszenia,
2 pkt — uzasadnienie przez zerowy moment siły grawitacji i opis drugiego zawieszenia.
✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś?/ 2 pkt
Drabina o masie $20$ kg opiera się o gładką ścianę pod kątem $60^\circ$ do podłoża ($g=10\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$). Oblicz wartość siły, jaką ściana działa na drabinę.
Momenty względem punktu styku z podłożem: $mg\cdot\tfrac{L}{2}\cos60^\circ=F\cdot L\sin60^\circ$.
Trzy jednakowe kulki o masie $m$ umieszczono w wierzchołkach trójkąta o współrzędnych $(0;0)$, $(6;0)$ i $(0;3)$ (w metrach). Oblicz współrzędne środka masy układu.
$x_{sm}=\dfrac{0+6+0}{3}=2$ m.
$y_{sm}=\dfrac{0+0+3}{3}=1$ m.
Środek masy leży w punkcie $(2;1)$ — to środek ciężkości trójkąta.
Odpowiedź: $S=(2;\,1)$
Schemat punktowania:
1 pkt — wzór na środek masy układu punktów,
2 pkt — obliczenie $x_{sm}$,
3 pkt — obliczenie $y_{sm}$.
✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś?/ 3 pkt
Belka o masie $30$ kg i długości $4$ m jest podparta w punkcie odległym o $1$ m od lewego końca. Jaką masę należy położyć na lewym końcu belki, aby była ona w równowadze ($g=10\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$)?
Ciężar belki działa w jej środku, czyli $1$ m na prawo od podpory: $M_P=300\cdot1=300\ \text{N}\cdot\text{m}$.
Ciężarek na lewym końcu ma ramię $1$ m: $M_L=mg\cdot1$.
$10m=300 \Rightarrow m=30$ kg.
Odpowiedź: $m=30$ kg
Schemat punktowania:
1 pkt — ustalenie ramion obu sił,
2 pkt — równanie momentów,
3 pkt — wynik $30$ kg,
4 pkt — sprawdzenie bilansu sił na podporze.
✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś?/ 4 pkt
Jednorodny sześcian o krawędzi $a$ i masie $m$ stoi na poziomym podłożu. Wykaż, że aby go przewrócić wokół dolnej krawędzi, środek masy trzeba podnieść o $\dfrac{a}{2}\left(\sqrt2-1\right)$, i oblicz najmniejszą pracę potrzebną do przewrócenia sześcianu o masie $2$ kg i krawędzi $0{,}4$ m ($g=10\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$).
Początkowo środek masy jest na wysokości $\tfrac{a}{2}$.
W chwili przewracania sześcian obraca się wokół krawędzi; środek masy przechodzi przez najwyższe położenie, gdy przekątna jest pionowa: $h=\dfrac{a\sqrt2}{2}$.
Zatem $\Delta h=\dfrac{a\sqrt2}{2}-\dfrac{a}{2}=\dfrac a2(\sqrt2-1)$. $\blacksquare$
$W=mg\Delta h=2\cdot10\cdot0{,}2\cdot0{,}4142\approx1{,}66$ J.
Odpowiedź: $W\approx1{,}66$ J
Wskazówka: To zadanie o równowadze trwałej: praca równa się przyrostowi energii potencjalnej.
Schemat punktowania:
1 pkt — wyznaczenie początkowej wysokości środka masy,
2 pkt — wyznaczenie wysokości maksymalnej ($\tfrac{a\sqrt2}{2}$),
3 pkt — wykazanie wzoru na $\Delta h$,
4 pkt — obliczenie pracy $\approx1{,}7$ J.
✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś?/ 4 pkt
Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.
