Agata postanowiła przygotować kartkę okolicznościową w kształcie prostokąta, ozdobioną wzorem dokładnie takim, jak przedstawiony na rysunku. Kartka ta będzie miała wymiary \(15cm\times18cm\). Do jej ozdobienia Agata chce użyć jednakowych kwadratów, których bok wyraża się całkowitą liczbą centymetrów. Niektóre z tych kwadratów będzie musiała przeciąć na dwie lub na cztery jednakowe części.





Oblicz maksymalną długość boku jednego kwadratu. Do obliczeń przyjmij przybliżenie \(\sqrt{2}\approx1,4\). Zapisz obliczenia.

Odpowiedź:      

Maksymalna długość boku kwadratu wynosi \(3cm\).

Rozwiązanie:      
Krok 1. Obliczenie maksymalnej długości boku kwadratu (licząc kwadraty na krótszym boku). Z rysunku wynika, że wzdłuż boku kartki o długości \(15cm\) Agata zmieściła \(3\) kwadraty. Sprawdźmy zatem jaka może być maksymalna długość przekątnej takiego kwadratu (analizujemy przekątną, bo jest ona równoległa do boku kartki): $$15cm:3=5cm$$ Z własności kwadratów wynika, że kwadrat o boku \(a\) ma przekątną o długości \(a\sqrt{2}\). Ta zależność pozwoli nam obliczyć długość boku kwadratu, przyjmując przybliżenie \(\sqrt{2}\approx1,4\): $$a\sqrt{2}=5cm \           ,\ 1,4a\approx5cm \           ,\ a\approx3,57cm$$ Z treści zadania wynika, że długość boku kwadratu musi wyrażać się całkowitą liczbą centymetrów, zatem największy możliwy kwadrat jaki zmieści się wzdłuż krótszej krawędzi kartki może mieć bok o długości \(3cm\). Krok 2. Obliczenie maksymalnej długości boku kwadratu (licząc kwadraty na dłuższym boku). To jednak nie koniec zadania, bo choć owszem wzdłuż krótszej krawędzi zmieszczą się trzy kwadraty o boku długości \(3cm\), to nie mamy jeszcze pewności, czy z takimi wymiarami zmieszczą się cztery kwadraty wzdłuż dłuższej krawędzi kartki. Musimy zatem wykonać podobne obliczenia dla dłuższego boku kartki. Z rysunku wynika, że wzdłuż dłuższego boku kartki o długości \(18cm\) Agata zmieściła \(4\) kwadraty, zatem maksymalna długość przekątnej takiego kwadratu wynosi: $$18cm:4=4,5cm$$ I tu ponownie korzystając z własności przekątnych obliczymy, że bok kwadratu może mieć długość: $$a\sqrt{2}=4,5cm \           ,\ 1,4a\approx4,5cm \           ,\ a\approx3,21cm$$ Zgodnie z treścią zadania bok kwadratu ma mieć całkowitą liczbę centymetrów, czyli wzdłuż dłuższego boku kartki także zmieści się nam kwadrat o boku długości \(3cm\). To oznacza, że maksymalna długość boku kwadratu wynosi \(3cm\).

Teoria:      
W trakcie opracowania