Z równoległoboku o krótszym boku długości \(6\) i kącie ostrym \(60°\) wycięto prostokąt o wymiarach największych z możliwych. Długość wyciętego w ten sposób prostokąta była dwa razy większa niż jego szerokość.





Drugi z boków danego równoległoboku miał długość:

A \(3\sqrt{3}+3\)
B \(6\sqrt{3}\)
C \(6\sqrt{3}+3\)
D \(12\sqrt{3}\)

Odpowiedź:      

C

Rozwiązanie:      
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego. Narysujmy omawiany w treści zadania prostokąt i przy okazji wprowadźmy do zadania proste oznaczenia: Z analizy rysunku wynika, że długość prostokąta będzie dwa razy większa niż wysokość prostokąta (i tym samym równoległoboku). Krok 2. Obliczenie wysokości równoległoboku. Chcąc poznać wysokość równoległoboku, skorzystamy z własności trójkątów o kątach \(30°, 60°, 90°\). Spójrzmy na zaznaczony zielony trójkąt. Bok o długości \(6\) jest przeciwprostokątną naszego zielonego trójkąta prostokątnego. Zgodnie z własnościami trójkątów o kątach \(30°, 60°, 90°\), krótsza przyprostokątna będzie miała miarę dwa razy mniejszą od przeciwprostokątnej, czyli w naszym przypadku \(a=3\). Tym samym dłuższa przyprostokątna będąca wysokością równoległoboku będzie miała długość \(h=3\sqrt{3}\). Krok 3. Obliczenie długości drugiego boku równoległoboku. Dłuższy bok równoległoboku będzie sumą długości krótszej przyprostokątnej naszego trójkąta oraz dłuższego boku prostokąta. Zgodnie z treścią zadania, ten dłuższy bok prostokąta będzie dwa razy dłuższy niż wysokość, czyli będzie miał: $$x=2\cdot3\sqrt{3} \           ,\ x=6\sqrt{3}$$ Skoro tak, to poszukiwany drugi bok równoległoboku będzie miał miarę: $$b=6\sqrt{3}+3$$

Teoria:      
W trakcie opracowania