Wskaż liczbę, która spełnia równanie \(|4x-5|=x\).

A \(x=-1\)
B \(x=1\)
C \(x=2\)
D \(x=-2\)

Odpowiedź:      

B

Rozwiązanie:      
Najprościej to zadanie rozwiążemy podstawiając poszczególne odpowiedzi do równania. Tylko w przypadku podstawienia \(x=1\) otrzymamy równanie w którym lewa i prawa strona są sobie równe: $$|4x-5|=x \           ,\ |4\cdot1-5|=1 \           ,\ |4-5|=1 \           ,\ |-1|=1 \           ,\ 1=1 \           ,\ L=P$$ Jeżeli jednak chcielibyśmy to równanie rozwiązać samodzielnie to zgodnie z tym jak się rozwiązuje takie nierówności otrzymalibyśmy: $$4x-5\ge0 \quad\lor\quad 4x-5\lt0 \           ,\ 4x\ge5 \quad\lor\quad 4x\lt5 \           ,\ x\ge\frac{5}{4} \quad\lor\quad x\lt\frac{5}{4}$$ Kiedy liczba z której wyciągamy wartość bezwzględną jest dodatnia to po opuszczeniu nawiasów bezwzględności nie zmieniamy jej znaku np. \(|5|=5\). Kiedy liczba z której wyciągamy wartość bezwzględną jest ujemna, to po opuszczeniu nawiasów bezwzględności zmieniamy jej znak na przeciwny np. \(|-5|=5\). W związku z tym: Gdy \(x\ge\frac{5}{4}\) to wartość w nawiasie jest większa lub równa zero, czyli opuszczając nawiasy bezwzględności nie zmieniamy znaku: $$|4x-5|=x \           ,\ 4x-5=x \           ,\ 3x=5 \           ,\ x=\frac{5}{3}$$ Gdy \(x\lt\frac{5}{4}\) to wartość w nawiasie jest mniejsza od zera, czyli opuszczając nawiasy bezwzględności zmieniamy znak: $$|4x-5|=x \           ,\ -(4x-5)=x \           ,\ -4x+5=x \           ,\ -5x=-5 \           ,\ x=1$$ W ten oto sposób obliczyliśmy, że to równanie ma dwa rozwiązania: \(x=\frac{5}{3}\) lub \(x=1\) i właśnie to drugie znalazło się w jednej z proponowanych odpowiedzi.

Teoria:      
W trakcie opracowania