W ciągu geometrycznym \((a_{n})\) dane są \(a_{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}\) i \(a_{3}=-1\). Wtedy wyraz \(a_{1}\) jest równy:

A \(-\frac{1}{2}\)
B \(\frac{1}{2}\)
C \(-\sqrt{2}\)
D \(\sqrt{2}\)

Odpowiedź:      

A

Rozwiązanie:      
I sposób: Jedną z ważniejszych własności ciągu geometrycznego jest to, że między trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego zachodzi równość: \({a_{2}}^2=a_{1}\cdot a_{3}\). Wykorzystując tę zależność możemy bez problemu obliczyć wartość poszukiwanego pierwszego wyrazu: $${a_{2}}^2=a_{1}\cdot a_{3} \           ,\ \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2=a_{1}\cdot(-1) \           ,\ \frac{2}{4}=-a_{1} \           ,\ a=-\frac{1}{2}$$ II sposób: Jeśli nie pamiętamy o zależności między trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego, to możemy obliczyć najpierw wartość ilorazu ciągu geometrycznego, a następnie wartość pierwszego wyrazu. Krok 1. Obliczenie ilorazu ciągu geometrycznego. Znamy wartość drugiego i trzeciego wyrazu, zatem możemy zapisać, że: $$a_{3}=a_{2}\cdot q \           ,\ -1=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot q \quad\cdot\frac{2}{\sqrt{2}} \           ,\ q=-\frac{2}{\sqrt{2}}=-\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}=-\frac{2\sqrt{2}}{2}=-\sqrt{2}$$ Krok 2. Obliczenie wartości pierwszego wyrazu. Pierwszy wyraz ciągu obliczymy dzięki znajomości wartości drugiego wyrazu oraz ilorazu ciągu: $$a_{2}=a_{1}\cdot q \           ,\ \frac{\sqrt{2}}{2}=a_{1}\cdot(-\sqrt{2}) \quad\bigg/:(-\sqrt{2}) \           ,\ a_{1}=-\frac{1}{2}$$

Teoria:      
W trakcie opracowania