Ciąg \((a_{n})\) jest określony wzorem \(a_{n}=log(n+1)\) dla \(n\ge1\). Liczba \(\frac{3a_{3}-a_{7}}{a_{1}}\) jest równa:

A \(log4\)
B \(log6\)
C \(2\)
D \(3\)

Odpowiedź:      

D

Rozwiązanie:      
Krok 1. Wyznaczenie wartości poszczególnych wyrazów ciągu. Z podanego w treści zadania wyrażenia wynika, że musimy poznać wartość \(a_{3}\), \(a_{7}\) oraz \(a_{1}\). Wyznaczmy zatem każdą z tych wartości: $$a_{3}=log(3+1)=log4 \           ,\ a_{7}=log(7+1)=log8 \           ,\ a_{1}=log(1+1)=log2$$ Tu warto sobie przy okazji powiedzieć, że jeżeli logarytm nie ma zapisanej podstawy, to domyślnie ta podstawa jest równa \(10\). Czyli przykładowo \(log4=log_{10}4\). Krok 2. Obliczenie wartości liczby. Możemy teraz podstawić wskazane logarytmy do całego wyrażenia i przystąpić do obliczenia wartości naszej liczby. Trzeba będzie się tutaj wykazać umiejętnościami działań na logarytmach, a całość będzie wyglądać następująco: $$\frac{3\cdot log4-log8}{log2}=\frac{log4^3-log8}{log2}=\frac{log64-log8}{log2}= \           ,\ =\frac{log\frac{64}{8}}{log2}=\frac{log8}{log2}=\frac{log2^3}{log2}=\frac{3\cdot log2}{log2}=3$$

Teoria:      
W trakcie opracowania