Kąt \(α\) jest kątem ostrym w trójkącie prostokątnym przedstawionym na rysunku.





Liczba \(4^{sinα}\) jest równa:

A \(\sqrt{2^{\sqrt{7}}}\)
B \(2\sqrt{2}\)
C \(4^{\frac{3}{\sqrt{7}}}\)
D \(4\sqrt[3]{4}\)

Odpowiedź:      

B

Rozwiązanie:      
Krok 1. Obliczenie długości przeciwprostokątnej. Do obliczenia sinusa będziemy potrzebowali znać długość przeciwprostokątnej, zatem korzystając z Twierdzenia Pitagorasa możemy zapisać, że: $$3^2+(\sqrt{7})^2=c^2 \           ,\ 9+7=c^2 \           ,\ c^2=16 \           ,\ c=4 \quad\lor\quad c=-4$$ Długość przeciwprostokątnej nie może być ujemna, zatem zostaje nam \(c=4\). Krok 2. Obliczenie wartości sinusa. Sinus opisuje nam stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciwko kąta \(α\) do długości przeciwprostokątnej, czyli: $$sinα=\frac{3}{4}$$ Krok 3. Obliczenie wartości wskazanej liczby. Naszym zadaniem jest teraz obliczenie wartości liczby \(4^{sinα}\), czyli \(4^{\frac{3}{4}}\). Korzystając z własności potęg i pierwiastków możemy zapisać, że: $$4^{\frac{3}{4}}=\sqrt[4]{4^3}=\sqrt[4]{64}=\sqrt[4]{16\cdot4}=2\sqrt[4]{4}=2\sqrt[4]{2^2}=2\sqrt{2}$$

Teoria:      
W trakcie opracowania