Dla liczb \(a=2\sqrt{2}\) i \(b=\sqrt{2-\sqrt{2}}\) wyrażenie \(\frac{a}{b^2}\) jest równe:

A \(2\sqrt{2}-2\)
B \(2\)
C \(2(\sqrt{2}+1)\)
D \(4(2+\sqrt{2})\)

Odpowiedź:      

C

Rozwiązanie:      
Krok 1. Podstawienie liczb do wyrażenia. Podstawiając wskazane liczby do naszego wyrażenia otrzymamy: $$\frac{2\sqrt{2}}{(\sqrt{2-\sqrt{2}})^2} \           ,\ \frac{2\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}}$$ Krok 2. Usunięcie niewymierności z mianownika. Teraz musimy usunąć niewymierność, która pojawiła się w mianowniku. Wymnożenie licznika i mianownika przez \(\sqrt{2}\) nic nam nie da. Aby usunąć niewymierność musimy pomnożyć licznik i mianownik przez \(2+\sqrt{2}\), dzięki czemu w mianowniku skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia \((a-b)(a+b)=a^2-b^2\). Całość będzie wyglądać następująco: $$\frac{2\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{2}\cdot(2+\sqrt{2})}{(2-\sqrt{2})\cdot(2+\sqrt{2})}= \           ,\ =\frac{4\sqrt{2}+4}{4-2}=\frac{4\sqrt{2}+4}{2}=2\sqrt{2}+2=2(\sqrt{2}+1)$$

Teoria:      
W trakcie opracowania