Ciąg \((a_{n})\) jest określony wzorem \(a_{n}=\frac{3}{4}n^2-24n+90\) dla \(n\ge1\). Najmniejszy wyraz ciągu \((a_{n})\) jest równy:

A \(90\)
B \(66\frac{3}{4}\)
C \(-102\)
D \(-124\)

Odpowiedź:      

C

Rozwiązanie:      
Krok 1. Potraktowanie ciągu jako funkcji. Potraktujmy nasz ciąg jak funkcję, która jest określona jedynie dla argumentów będących liczbami naturalnymi. Funkcja swoją najmniejszą lub największą wartość przyjmuje w wierzchołku \(W=(p;q)\). To oznacza, że tak naprawdę interesować nas będzie poznanie współrzędnych wierzchołka paraboli, ale z zastrzeżeniem, że współrzędna \(p\) musi być liczbą naturalną. Krok 2. Wyznaczenie współrzędnej \(p\). Współrzędną \(p\) obliczymy ze wzoru: $$p=\frac{-b}{2a}$$ Ze wzoru ciągu możemy odczytać, że \(b=-24\) oraz \(a=\frac{3}{4}\). W związku z tym: $$p=\frac{-(-24)}{2\cdot\frac{3}{4}} \           ,\ p=\frac{24}{\frac{3}{2}} \           ,\ p=24:\frac{3}{2} \           ,\ p=24\cdot\frac{2}{3} \           ,\ p=16$$ Współrzędna \(p\) jest liczbą naturalną i to jest bardzo dobra wiadomość, bo za chwilę będziemy mogli podstawić tę liczbę do wzoru naszego ciągu. Gdyby się okazało, że \(p\) jest równe np. \(16\frac{1}{5}\), to w kolejnym kroku musielibyśmy sprawdzić wartość funkcji dla argumentów \(n=16\) oraz \(n=17\). Krok 3. Wyznaczenie współrzędnej \(q\). Współrzędną \(q\) moglibyśmy wyznaczyć ze wzoru \(q=\frac{-Δ}{4a}\), ale skoro znamy wartość współrzędnej \(p=16\) to możemy po prostu podstawić do wzoru wartość \(n=16\) i w ten sposób obliczymy wartość przyjmowaną w tym wierzchołku, czyli wartość współrzędnej \(q\). Zatem: $$q=\frac{3}{4}\cdot16^2-24\cdot16+90 \           ,\ q=\frac{3}{4}\cdot256-384+90 \           ,\ q=\frac{3}{4}\cdot256-384+90 \           ,\ q=192-384+90 \           ,\ q=-102$$ To oznacza, że najmniejszą wartością przyjmowaną przez ten ciąg jest wartość \(16\)-stego wyrazu i jest ona równa \(-102\).

Teoria:      
W trakcie opracowania