Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\) liczba \(64^n-4^n\) jest podzielna przez \(12\).

Odpowiedź:      

Wykazano, pokazując że liczba ta dzieli się jednocześnie przez \(4\) i \(3\).

Rozwiązanie:      
Do zadania można podejść na różne sposoby, ale najprościej będzie zauważyć, że: $$64^n-4^n=4^{n}\cdot(16^{n}-1)$$ Wartość \(16^{n}-1\) znajdującą się w nawiasie możemy jeszcze rozpisać zgodnie ze wzorem skróconego mnożenia \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\) jako \((4^{n}-1)(4^{n}+1)\). Otrzymamy wtedy: $$4^{n}\cdot(16^{n}-1)=4^{n}\cdot(4^{n}-1)(4^{n}+1)$$ Powinniśmy teraz dostrzec, że otrzymaliśmy mnożenie trzech kolejnych liczb naturalnych. Będzie to dobrze widać, gdy zamienimy wyrazy miejscami: $$(4^{n}-1)\cdot4^{n}\cdot(4^{n}+1)$$ Skoro są to trzy kolejne liczby naturalne, to któraś z nich jest na pewno podzielna przez \(3\). Dodatkowo widzimy, że \(4^{n}\) jest podzielne przez \(4\). Skoro więc ten nasz iloczyn dzieli się przez \(3\) i \(4\), to będzie także podzielny przez iloczyn tych wartości, czyli przez \(12\), co należało właśnie udowodnić.

Teoria:      
W trakcie opracowania