Wykresy funkcji liniowych \(f\) i \(g\), określonych wzorami \(f(x)=ax+b\) i \(g(x)=bx-a\), przecinają się w punkcie \(M=(3,5)\). Zatem:

A \(a=\frac{6}{13}, b=\frac{9}{13}\)
B \(a=5, b=10\)
C \(a=\frac{5}{3}, b=\frac{10}{3}\)
D \(a=1, b=2\)

Odpowiedź:      

D

Rozwiązanie:      
Z geometrycznej interpretacji układu równań wiemy, że chcąc poznać współrzędne miejsc przecięcia się funkcji, musimy rozwiązać układ równań składający się ze wzorów tych funkcji. My już wiemy, że współrzędne tego punktu to \(M=(3,5)\), zatem podstawmy \(x=3\) oraz \(y=5\) do wzorów obydwu funkcji: \begin{cases} 5=a\cdot3+b \           ,\ 5=b\cdot3-a \end{cases} \begin{cases} 5=3a+b \           ,\ 5=3b-a \end{cases} Korzystając z metody podstawiania możemy teraz zapisać, że: $$3a+b=3b-a \           ,\ 4a=2b \           ,\ a=\frac{1}{2}b$$ Jeżeli teraz podstawimy wyznaczone \(a=\frac{1}{2}b\) do np. równania \(5=3a+b\), to otrzymamy: $$5=3\cdot\frac{1}{2}b+b \           ,\ 5=1,5b+b \           ,\ 5=2,5b \           ,\ b=2$$ Wiedząc, że \(b=2\) i że \(a=\frac{1}{2}b\), wyjdzie nam, że: $$a=\frac{1}{2}\cdot2 \           ,\ a=1$$ To oznacza, że warunki zadania są spełnione dla \(a=1, b=2\).

Teoria:      
W trakcie opracowania