Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych \(a\) i \(b\) prawdziwa jest nierówność \(3a^2-2ab+3b^2\ge0\).

Odpowiedź:      

Udowodniono korzystając ze wzorów skróconego mnożenia.

Rozwiązanie:      
Krok 1. Rozpisanie podanego wyrażenia. Ze wzorów skróconego mnożenia wiemy, że \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\). W związku z tym możemy rozbić sobie wyrażenie z treści zadania na takie, by jego częściami składowymi był właśnie zapis \(a^2-2ab+b^2\). Całość wyglądałaby następująco: $$3a^2-2ab+3b^2=a^2-2ab+b^2+2a^2+2b^2=(a-b)^2+2a^2+2b^2$$ Krok 2. Interpretacja otrzymanego wyniku. Przeanalizujmy sobie każdy ze składników powstałej sumy: \((a-b)^2\) - jest to na pewno liczba dodatnia lub równa zero, bo każda liczba podniesiona do kwadratu daje wynik nieujemny. \(2a^2\) - ta liczba też jest na pewno dodatnia lub równa zero, bo \(a^2\) jest na pewno nieujemne, no a liczba nieujemna pomnożona przez \(2\) nadal jest liczbą nieujemną. \(2b^2\) - podobnie jak \(2a^2\), jest to na pewno liczba dodatnia lub równa zero. W związku z tym mając dodawanie \((a-b)^2+2a^2+2b^2\) dodajemy do siebie trzy liczby, które są na pewno dodatnie lub równe zero. Stąd też ich suma musi dać wynik większy lub równy \(0\).

Teoria:      
W trakcie opracowania