Na rysunku przedstawiony jest fragment wykresu funkcji liniowej \(f\). Na wykresie tej funkcji leżą punkty \(A=(0, 4)\) i \(B=(2, 2)\).







Obrazem prostej \(AB\) w symetrii względem początku układu współrzędnych jest wykres funkcji \(g\) określonej wzorem:

A \(g(x)=x+4\)
B \(g(x)=x-4\)
C \(g(x)=-x-4\)
D \(g(x)=-x+4\)

Odpowiedź:      

C

Rozwiązanie:      
Możemy oczywiście wyznaczyć sobie wzór funkcji przechodzącej przez punkty \(A\) oraz \(B\), a następnie możemy przekształcić wzór tej funkcji, ale przekształcenia wzorów funkcji względem początku układu współrzędnych mogą być problematyczne, dlatego warto postąpić nieco sprytniej, a mianowicie najpierw przekształćmy punkty \(A\) oraz \(B\), a następnie wyznaczmy wzór funkcji, która przechodzi przez punkty \(A'B'\). Krok 1. Przekształcenie punktów \(A\) oraz \(B\). Przekształcając punkty względem początku układu współrzędnych musimy zmienić wartości współrzędnej iksowej oraz igrekowej na przeciwną, zatem: $$A'=(0;-4) \           ,\ B'=(-2;-2)$$ To oznacza, że funkcja \(g(x)\) będzie prostą, która przechodzi przez punkty \(A'\) oraz \(B'\) i my teraz musimy wyznaczyć wzór tej prostej. Krok 2. Wyznaczenie wzoru funkcji \(g(x)\). Znając współrzędne dwóch punktów przez które przechodzi prosta możemy bez problemu wyznaczyć wzór tej funkcji. Skorzystamy z metody układu równań, który zbudujemy podstawiając do postaci kierunkowej \(y=ax+b\) współrzędne punktu \(A'\) oraz \(B'\): $$\begin{cases} -4=0a+b \           ,\ -2=-2a+b \end{cases}$$ Z pierwszego równania wychodzi nam wprost, że \(b=-4\). Możemy tę wartość podstawić teraz do drugiego równania, obliczając w ten sposób współczynnik \(a\): $$-2=-2a+(-4) \           ,\ -2a=2 \           ,\ a=-1$$ To oznacza, że nasza funkcja \(g(x)\) wyraża się wzorem \(-1x-4\), czyli po prostu \(g(x)=-x-4\).

Teoria:      
W trakcie opracowania