Dany jest graniastosłup prawidłowy czworokątny, w którym krawędź podstawy ma długość \(15\). Przekątna graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem \(\alpha\) takim, że \(cos\alpha=\frac{\sqrt{2}}{3}\). Długość przekątnej tego graniastosłupa jest równa:

A \(15\sqrt{2}\)
B \(45\)
C \(5\sqrt{2}\)
D \(10\)

Odpowiedź:      

B

Rozwiązanie:      
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego. Skoro jest to graniastosłup prawidłowy czworokątny, to w swojej podstawie będzie miał on kwadrat. Sytuacja z treści zadania będzie więc wyglądać następująco: --rysunki zrobię na samym końcu-- Krok 2. Obliczenie długości przekątnej podstawy. W podstawie mamy kwadrat o boku \(a=15\). Z własności kwadratów wiemy, że przekątna kwadratu o boku \(a\) ma przekątną o długości \(a\sqrt{2}\), zatem w naszym przypadku \(d=15\sqrt{2}\). Krok 3. Obliczenie długości przekątnej graniastosłupa. Cosinus opisuje nam stosunek między długości przyprostokątnej leżącej przy kącie, względem przeciwprostokątnej. Możemy więc zapisać, że: $$cos\alpha=\frac{d}{s}$$ Podstawiając znane nam dane, otrzymamy: $$\frac{\sqrt{2}}{3}=\frac{15\sqrt{2}}{s}$$ To równanie możemy rozwiązać na wiele sposobów - najprościej będzie chyba wykonać mnożenie na krzyż, zatem: $$\sqrt{2}\cdot s=3\cdot15\sqrt{2} \           ,\ \sqrt{2}\cdot s=45\sqrt{2} \           ,\ s=45$$

Teoria:      
W trakcie opracowania