Rozwiąż nierówność \(x(x-2)\gt2x^2-3\)

Odpowiedź:      

\(x\in(-3;1)\)

Rozwiązanie:      
Krok 1. Doprowadzenie nierówności do postaci ogólnej. Zanim zaczniemy liczyć deltę, to musimy wykonać odpowiednie działania i przenieść wszystkie wyrazy na lewą stronę, zatem: $$x(x-2)\gt2x^2-3 \           ,\ x^2-2x\gt2x^2-3 \           ,\ -x^2-2x+3\gt0$$ Krok 2. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu. Współczynniki: \(a=-1,\;b=-2,\;c=3\) $$Δ=b^2-4ac=(-2)^2-4\cdot(-1)\cdot3=4-(-12)=16 \           ,\ \sqrt{Δ}=\sqrt{16}=4$$ $$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-2)-4}{2\cdot(-1)}=\frac{2-4}{-2}=\frac{-2}{-2}=1 \           ,\ x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-2)+4}{2\cdot(-1)}=\frac{2+4}{-2}=\frac{6}{-2}=-3$$ Krok 3. Szkicowanie wykresu paraboli. Z racji tego, iż współczynnik kierunkowy \(a\) jest ujemny, to parabola będzie mieć ramiona skierowane do dołu. Zaznaczamy więc na osi wyznaczone miejsca zerowe \(x=1\) oraz \(x=-3\) (kropki będą niezamalowane, bo w nierówności wystąpił znak \(\gt\)) i rysujemy parabolę: Krok 4. Odczytanie rozwiązania. Szukamy wartości większych od zera, czyli tych które znajdują się nad osią. To oznacza, że rozwiązaniem tej nierówności będzie przedział: $$x\in(-3;1)$$

Teoria:      
W trakcie opracowania