Dany jest trójkąt \(ABC\) o bokach długości \(4\) i \(6\). Pole tego trójkąta jest równe \(3\sqrt{15}\). Oznacza to, że jeśli kąt między bokami o długościach \(4\) i \(6\) ma miarę \(α\gt90°\), to:

A \(\cosα=\frac{\sqrt{15}}{4}\)
B \(\cosα=\frac{1}{4}\)
C \(\cosα=-\frac{\sqrt{15}}{4}\)
D \(\cosα=-\frac{1}{4}\)

Odpowiedź:      

D

Rozwiązanie:      
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego. Krok 2. Wyznaczenie wartości \(sinα\). W tym zadaniu skorzystamy z tak zwanego wzoru na pole trójkąta z sinusem i to z niego będziemy próbować wyznaczyć informacje na temat kąta \(α\): $$P=\frac{1}{2}\cdot a\cdot b\cdot sinα \           ,\ 3\sqrt{15}=\frac{1}{2}\cdot4\cdot6\cdot sinα \           ,\ 3\sqrt{15}=12sinα \           ,\ sinα=\frac{3\sqrt{15}}{12} \           ,\ sinα=\frac{\sqrt{15}}{4}$$ Krok 3. Wyznaczenie wartości \(cosα\). Znając wartość sinusa możemy obliczyć wartość cosinusa, a zrobimy to wykorzystując tak zwaną jedynkę trygonometryczną. $$sin^2α+cos^2α=1 \           ,\ \left(\frac{\sqrt{15}}{4}\right)^2+cos^2α=1 \           ,\ \frac{15}{16}+cos^2α=1 \           ,\ cos^2α=\frac{1}{16} \           ,\ cosα=\frac{1}{4} \quad\lor\quad cosα=-\frac{1}{4}$$ W związku z tym, że nasz kąt \(α\) jest kątem rozwartym (bo tak wynika z zadania) to musimy odrzucić dodatnie rozwiązanie cosinusa, bo dla kątów rozwartych cosinus przyjmuje jedynie ujemne wyniki. Z tego też względu zostaje nam jedynie \(\cosα=-\frac{1}{4}\).

Teoria:      
W trakcie opracowania