Sześcian \(ABCDA'B'C'D'\) przecięto płaszczyzną przechodzącą przez przekątną \(BD\) dolnej podstawy i wierzchołek \(C'\) górnej podstawy. Jeśli \(a\) jest krawędzią tego sześcianu, to pole otrzymanego przekroju jest równe:

A \(\frac{1}{2}a^2\sqrt{2}\)
B \(\frac{1}{2}a^2\sqrt{3}\)
C \(\frac{1}{2}a^2\sqrt{5}\)
D \(\frac{1}{2}a^2\sqrt{6}\)

Odpowiedź:      

B

Rozwiązanie:      
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego. Zaznaczmy sobie przekrój, którego pole musimy policzyć i nanieśmy na rysunek dane, które pozwolą nam wykonać obliczenia. Okazuje się, że każdy bok trójkąta jest przekątną jakiegoś kwadratu, a z własności kwadratów wiemy, że kwadrat o boku \(a\) ma przekątną o długości \(a\sqrt{2}\) (stąd też te miary pojawiły się już na rysunku). To z kolei prowadzi nas do bardzo ciekawego wniosku, a mianowicie że jest to trójkąt równoboczny o bokach długości \(a\sqrt{2}\). Krok 2. Obliczenie pola powierzchni przekroju. Korzystając ze wzoru na pole trójkąta \(P=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\) możemy bez problemu obliczyć pole naszego przekroju. Trzeba tylko być ostrożnym, bo trochę niefortunnie mamy tutaj zbieżność symboli i pod \(a\) będziemy podstawiać długość \(a\sqrt{2}\). $$P=\frac{(a\sqrt{2})^2\cdot\sqrt{3}}{4} \           ,\ P=\frac{a^2\cdot2\cdot\sqrt{3}}{4} \           ,\ P=\frac{a^2\cdot\sqrt{3}}{2} \           ,\ P=\frac{1}{2}a^2\sqrt{3}$$

Teoria:      
W trakcie opracowania