Dany jest ciąg geometryczny o wyrazach różnych od \(0\). Suma siódmego i ósmego wyrazu tego ciągu jest równa \(0\). Oznacza to, że suma tysiąca początkowych wyrazów tego ciągu jest równa:

A \(1000a_{1}\)
B \(1001a_{1}\)
C \(10\)
D \(0\)

Odpowiedź:      

D

Rozwiązanie:      
Krok 1. Ustalenie ilorazu ciągu geometrycznego. Z treści zadania wynika, że: $$a_{7}+a_{8}=0 \           ,\ a_{8}=-a_{7}$$ Teraz musimy się zastanowić co z tego wynika. Skoro ósmy wyraz ma być równy \(-a_{7}\) to znaczy, że ósmy wyraz powstał po pomnożeniu \(a_{7}\) przez \(-1\). Czyli z tego wniosek jest taki, że w tym ciągu \(q=-1\). Krok 2. Obliczenie sumy tysiąca początkowych wyrazów. Korzystając ze wzoru na sumę \(n\) początkowych wyrazów ciągu geometrycznego możemy zapisać, że: $$S_{n}=a_{1}\cdot\frac{1-q^n}{1-q} \           ,\ S_{1000}=a_{1}\cdot\frac{1-(-1)^{1000}}{1-(-1)} \           ,\ S_{1000}=a_{1}\cdot\frac{1-1}{1+1} \           ,\ S_{1000}=a_{1}\cdot\frac{0}{2} \           ,\ S_{1000}=a_{1}\cdot0 \           ,\ S_{1000}=0$$

Teoria:      
W trakcie opracowania