Odcinek \(AB\) jest średnicą okręgu o środku \(O\) i promieniu \(r\). Na tym okręgu wybrano punkt \(C\), taki, że \(|OB|=|BC|\) (zobacz rysunek).





Pole trójkąta \(AOC\) jest równe:

A \(\frac{1}{2}r^2\)
B \(\frac{1}{4}r^2\)
C \(\frac{π}{4}r^2\)
D \(\frac{\sqrt{3}}{4}r^2\)

Odpowiedź:      

D

Rozwiązanie:      
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego. Odcinki \(OC\) oraz \(BC\) są na pewno sobie równe, a to dlatego że mają długość promienia okręgu. Skoro więc z założeń zapisanych w treści zadania wynika, że odcinek \(BC\) jest równy odcinkowi \(OB\), to znaczy że trójkąt \(OBC\) jest równoboczny: Krok 2. Obliczenie miary kąta \(AOC\). Skoro trójkąt \(OBC\) jest równoboczny, to znaczy że wszystkie jego kąty mają miarę \(60°\). Jeden z kątów tego trójkąta (a dokładniej kąt \(COB\)) jest kątem przyległym do kąta \(AOC\). Skoro suma kątów przyległych jest równa \(60°\), to oznacza, że: $$|\sphericalangle AOC|=180°-60°=120°$$ Krok 3. Obliczenie wartości \(sin120°\). Do obliczenia pola powierzchni trójkąta \(AOC\) będziemy chcieli skorzystać ze wzoru na pole trójkąta: $$P=\frac{1}{2}ab\cdot sinα$$ W związku z tym za chwilę będziemy potrzebować wartości \(sin120°\), a tej nie ma zapisanej w tablicach matematycznych. Musimy więc skorzystać ze wzorów redukcyjnych np.: $$sin(90°+α)=cosα \           ,\ sin120°=sin(90°+30°)=cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$$ Krok 4. Obliczenie pola trójkąta \(AOC\). Teraz możemy skorzystać ze wzoru na pole trójkąta z sinusem. W naszym przypadku \(a=r\) oraz \(b=r\), zatem: $$P=\frac{1}{2}ab\cdot sinα \           ,\ P=\frac{1}{2}\cdot r\cdot r\cdot sin120° \           ,\ P=\frac{1}{2}\cdot r\cdot r\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} \           ,\ P=\frac{\sqrt{3}}{4}r^2$$

Teoria:      
W trakcie opracowania