Punkty \(A=(-6-2\sqrt{2}, 4-2\sqrt{2})\), \(B=(2+4\sqrt{2}, -6\sqrt{2})\), \(C=(2+6\sqrt{2}, 6-2\sqrt{2})\) są kolejnymi wierzchołkami równoległoboku \(ABCD\). Przekątne tego równoległoboku przecinają się w punkcie:

A \(S=(-1+4\sqrt{2},\;5-5\sqrt{2})\)
B \(S=(-2+\sqrt{2},\;2-4\sqrt{2})\)
C \(S=(2+5\sqrt{2},\;3-4\sqrt{2})\)
D \(S=(-2+2\sqrt{2},\;5-2\sqrt{2})\)

Odpowiedź:      

D

Rozwiązanie:      
Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego. Spróbujmy mniej więcej zaznaczyć w układzie współrzędnych punkty \(A\), \(B\) oraz \(C\): Nie znamy współrzędnych punktu \(D\) (na rysunku jest on tylko by zobrazować sobie jak wygląda ten równoległobok), ale nie jest nam on na szczęście potrzebny. Przekątne równoległoboku przecinają się w połowie swojej długości, zatem wystarczy wyznaczyć środek odcinka \(AC\) (a mamy na to wzór w tablicach). Krok 2. Wyznaczenie współrzędnych punktu przecięcia się przekątnych. Zgodnie ze wzorami współrzędne \(S=(x_{S};y_{S})\) środka odcinka \(AC\) możemy obliczyć w następujący sposób: $$x_{S}=\frac{x_{A}+x_{C}}{2} \           ,\ x_{S}=\frac{-6-2\sqrt{2}+2+6\sqrt{2}}{2} \           ,\ x_{S}=\frac{-4+4\sqrt{2}}{2} \           ,\ x_{S}=-2+2\sqrt{2}$$ Tak naprawdę moglibyśmy w tym momencie skończyć rozwiązywanie zadania, bo tylko w czwartej odpowiedzi znajduje się obliczona przed chwilą współrzędna \(x_{S}\). Dla sprawdzenia i wprawy obliczmy sobie jeszcze współrzędną \(y_{S}\): $$y_{S}=\frac{y_{A}+y_{C}}{2} \           ,\ y_{S}=\frac{4-2\sqrt{2}+6-2\sqrt{2}}{2} \           ,\ y_{S}=\frac{10-4\sqrt{2}}{2} \           ,\ y_{S}=5-2\sqrt{2}$$

Teoria:      
W trakcie opracowania