Funkcja \(f\) określona dla wszystkich liczb całkowitych dodatnich, przyporządkowuje liczbie \(x\) ostatnią cyfrę jej kwadratu. Zbiór wartości funkcji \(f\) zawiera dokładnie:

A \(5\) elementów
B \(6\) elementów
C \(9\) elementów
D \(10\) elementów

Odpowiedź:      

B

Rozwiązanie:      
Musimy odpowiedzieć tak naprawdę na pytanie - jakie są ostatnie cyfry liczb, które są wynikami podniesienia liczby do kwadratu. Przykładowo: Liczby zakończone na \(2\): $$2^2=\color{blue}{4} \           ,\ 72^2=518\color{blue}{4} \           ,\ 82^2=672\color{blue}{4} \           ,\ 92^2=846\color{blue}{4}$$ Liczby zakończone na \(3\): $$3^2=\color{blue}{9} \           ,\ 73^2=532\color{blue}{9} \           ,\ 83^2=688\color{blue}{9} \           ,\ 93^2=864\color{blue}{9}$$ Liczby zakończone na \(9\): $$9^2=8\color{blue}{1} \           ,\ 79^2=624\color{blue}{1} \           ,\ 89^2=792\color{blue}{1} \           ,\ 99^2=980\color{blue}{1}$$ Widzimy wyraźnie, że istnieje zbieżność, między ostatnią cyfrą liczby podniesioną do kwadratu, a kwadratem tej liczby. Gdybyśmy rozpatrzyli tak wszystkie możliwe przypadki (końcówki liczb od \(0\) do \(9\)) to zauważymy, że: Ostatnia cyfra \(0\) - Kwadrat liczby kończy się na \(0\) Ostatnia cyfra \(1\) - Kwadrat liczby kończy się na \(1\) Ostatnia cyfra \(2\) - Kwadrat liczby kończy się na \(4\) Ostatnia cyfra \(3\) - Kwadrat liczby kończy się na \(9\) Ostatnia cyfra \(4\) - Kwadrat liczby kończy się na \(6\) Ostatnia cyfra \(5\) - Kwadrat liczby kończy się na \(5\) Ostatnia cyfra \(6\) - Kwadrat liczby kończy się na \(6\) Ostatnia cyfra \(7\) - Kwadrat liczby kończy się na \(9\) Ostatnia cyfra \(8\) - Kwadrat liczby kończy się na \(4\) Ostatnia cyfra \(9\) - Kwadrat liczby kończy się na \(1\) Z naszych rozważań wynika, że na końcach kwadratów znaleźć się może jedna z sześciu liczb: \(0, 1, 4, 5, 6, 9\). W związku z tym zbiór wartości funkcji \(f\) składa się z \(6\) elementów.

Teoria:      
W trakcie opracowania