Największą wartością funkcji \(y=-(x-2)^2+4\) w przedziale \(\langle3,5\rangle\) jest:

A \(0\)
B \(5\)
C \(4\)
D \(3\)

Odpowiedź:      

D

Rozwiązanie:      
Krok 1. Wyznaczenie współrzędnych wierzchołka paraboli. Funkcja dla danego przedziału przyjmuje największą lub najmniejszą wartość albo na krańcach przedziału, albo w swoim wierzchołku (o ile ten wierzchołek mieści się w tym przedziale). Z tego też względu na początku musimy ustalić współrzędne wierzchołka tej paraboli. Funkcja jest podana w postaci kanonicznej, czyli takiej z której współrzędne wierzchołka są proste do odczytania. Dla wierzchołka o współrzędnych \(W=(p;q)\) funkcja przyjmuje postać: $$f(x)=a(x-p)^2+q$$ Przyrównując to do wzoru podanego w treści zadania widzimy, że w tym przypadku \(p=2\) oraz \(q=4\), czyli \(W=(2;4)\). To z kolei oznacza, że wierzchołek nie mieści się w naszym przedziale \(\langle3,5\rangle\), czyli w ogóle nie będziemy go rozpatrywać. Krok 2. Obliczenie wartości funkcji dla \(x=3\) oraz \(x=5\). Zgodnie z tym co zapisaliśmy sobie na początku - największa wartość funkcji w danym przedziale musi być osiągnięta na krańcach tego przedziału, czyli albo dla \(x=3\) albo dla \(x=5\). Zatem podstawiając te argumenty do wzoru funkcji otrzymamy: $$f(3)=-(3-2)^2+4=-1^2+4=-1+4=3 \           ,\ f(5)=-(5-2)^2+4=-3^2+4=-9+4=-5$$ To oznacza, że największą wartością funkcji w przedziale \(\langle3,5\rangle\) jest wartość równa \(y=3\), osiągana dla argumentu \(x=3\).

Teoria:      
W trakcie opracowania