Wykresem funkcji kwadratowej \(f(x)=x^2-2x-11\) jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt o współrzędnych:

A \((-2, -3)\)
B \((-2, -12)\)
C \((1, -8)\)
D \((1, -12)\)

Odpowiedź:      

D

Rozwiązanie:      
Współrzędne wierzchołka paraboli \(W=(p;q)\) możemy wyznaczyć korzystając ze wzorów: $$p=\frac{-b}{2a} \           ,\ q=\frac{-Δ}{4a}$$ Krok 1. Wyznaczenie współrzędnej \(p\). Ze wzoru funkcji możemy odczytać, że współczynnik \(a=1\), natomiast \(b=-2\). W związku z tym: $$p=\frac{-b}{2a} \           ,\ p=\frac{-(-2)}{2\cdot1} \           ,\ p=\frac{2}{2} \           ,\ p=1$$ Krok 2. Wyznaczenie współrzędnej \(q\). Chcąc skorzystać ze wzoru na współrzędną \(q\) musimy najpierw policzyć deltę: $$Δ=b^2-4ac=(-2)^2-4\cdot1\cdot(-11)=4-(-44)=4+44=48$$ W związku z tym: $$q=\frac{-Δ}{4a} \           ,\ q=\frac{-48}{4\cdot1} \           ,\ q=-12$$ Mogliśmy też wyznaczyć współrzędną \(q\) nieco szybciej. Skoro znamy już współrzędną \(p=1\), to wystarczy podstawić do wzoru funkcji pod iksa jedynkę i zobaczyć jaką wartość przyjmuje ta funkcja właśnie dla jedynki. Otrzymamy wtedy: $$q=1^2-2\cdot1-11 \           ,\ q=1-2-11 \           ,\ q=-12$$ To oznacza, że wierzchołek na współrzędne \(W=(1;-12)\).

Teoria:      
W trakcie opracowania