MATEMATIX

Polityka prywatności

Obowiązuje od: 3 sierpnia 2025 r.
Administrator: AMKBIT Grzegorz Klekiel (serwis: MATEMATIX), ul. Mechaniczna 5s/2, 67-200 Głogów
NIP: PL6931875330  ·  REGON: 021 344 565  ·  tel. +48 455 405 228  ·  e-mail: firma@amkbit.pl
Start › Klasy › Klasa 7 SP › Podział proporcjonalny

Podział proporcjonalny

Klasa 7 SP — teoria, wzory, quizy i zadania do tego tematu.

📘Teoria 1

Proporcjonalność, podział proporcjonalny i skala

Proporcja

$$\frac{a}{b}=\frac{c}{d} \iff a\cdot d=b\cdot c$$

Mnożenie na krzyż to podstawowe narzędzie — zamienia proporcję w zwykłe równanie.

Proporcjonalność prosta

Wzrost jednej wielkości powoduje wzrost drugiej w tym samym stosunku. Iloraz jest stały:

$$\frac{y}{x}=k \quad\Rightarrow\quad y=kx$$

Przykłady: liczba biletów i kwota, droga i zużycie paliwa, ilość składników i liczba porcji.

Proporcjonalność odwrotna

Wzrost jednej wielkości powoduje spadek drugiej. Stały jest iloczyn:

$$x\cdot y=k$$

Przykłady: liczba robotników i czas pracy, prędkość i czas przejazdu.

Jak rozpoznać: zadaj sobie pytanie „czy więcej znaczy więcej, czy mniej?”. Czterech malarzy pracuje $9$ dni, więc sześciu — krócej. Stała jest praca: $4\cdot9=36$ dniówek, stąd $36:6=6$ dni.

Podział proporcjonalny

Schemat jest zawsze ten sam:

  1. zsumuj liczby ze stosunku — dostajesz liczbę części
  2. podziel całość przez liczbę części — dostajesz wartość jednej części
  3. pomnóż przez odpowiednie liczby ze stosunku

Przykład: $120$ zł w stosunku $2:3$. Części jest $5$, jedna warta $24$ zł, więc podział to $48$ zł i $72$ zł.

Kontrola: suma otrzymanych wartości musi dać całość.

Skala

Zapis $1:n$ oznacza, że $1$ jednostka na mapie odpowiada $n$ jednostkom w rzeczywistości.

$$\text{odległość rzeczywista}=\text{odległość na mapie}\times n$$

Warto zapamiętać: przy skali $1:100\,000$ każdy centymetr mapy to dokładnie $1$ km.

Wyznaczanie skali

Obie odległości sprowadzamy do tych samych jednostek i tworzymy stosunek. Dla $8$ cm na mapie i $4$ km w terenie: $4$ km $=400\,000$ cm, więc skala to $\frac{8}{400\,000}=1:50\,000$.

Skala a pole

Długości zmieniają się jak skala, ale pola jak jej kwadrat. W skali $1:100$ pole rzeczywiste jest $10\,000$ razy większe niż na planie — nie $100$ razy.

Na co uważać

Najczęstszy błąd to podanie wartości jednej części zamiast szukanej części podziału. Drugi — zastosowanie proporcji prostej tam, gdzie działa odwrotna; wtedy wynik wychodzi sprzeczny ze zdrowym rozsądkiem (więcej pracowników, a dłużej), co warto wychwycić.

∑Wzory 1

Proporcjonalność prosta i odwrotna
$$\text{prosta: } \frac{y}{x} = k \quad\Rightarrow\quad y = kx \qquad\qquad \text{odwrotna: } x \cdot y = k$$

Co robi: rozróżnia dwa typy zależności między wielkościami — to podstawowy wybór przed rozwiązaniem zadania.

Proporcjonalność prosta: obie wielkości rosną razem, a ich iloraz jest stały. Przykłady: liczba biletów i kwota, droga i zużycie paliwa, liczba porcji i ilość składników.

Proporcjonalność odwrotna: jedna rośnie, druga maleje, a stały jest iloczyn. Przykłady: liczba robotników i czas pracy, prędkość i czas przejazdu.

Jak rozpoznać: zapytaj „czy więcej znaczy więcej, czy mniej?”. Czterech malarzy pracuje $9$ dni; sześciu będzie pracować krócej. Stała jest łączna praca: $4\cdot9=36$ dniówek, więc $36:6=6$ dni.

Podział proporcjonalny — schemat: zsumuj liczby ze stosunku, podziel całość przez tę sumę, pomnóż przez poszczególne liczby. Kwota $120$ zł w stosunku $2:3$ to $5$ części po $24$ zł, czyli $48$ zł i $72$ zł.

Pułapka: zastosowanie proporcji prostej tam, gdzie działa odwrotna — wtedy wynik przeczy zdrowemu rozsądkowi (więcej pracowników, a dłużej). Druga pomyłka to podanie wartości jednej części zamiast szukanej części podziału.

🧩Quizy 1

▶Proporcjonalność i skala8 pyt. średni

✍Zadania 67

Zadanie nr 1

Rozwiąż proporcję $\frac{x}{4}=\frac{6}{8}$.

A $2$
B $3$
C $4{,}5$
D $12$
Zadanie nr 1

Rozwiąż proporcję $\frac{x}{4}=\frac{15}{20}$.

A $5$
B $75$
C $3$
D $12$
Zadanie nr 1

Proporcja to równość:

A dwóch sum
B dwóch ilorazów (ułamków)
C dwóch różnic
D dwóch potęg
Zadanie nr 2

Rozwiąż proporcję $\frac{5}{x}=\frac{15}{9}$.

Zadanie nr 2

Za $5$ kg jabłek zapłacono $17{,}50$ zł. Ile kosztuje $8$ kg?

Zadanie nr 2

Rozwiąż proporcję $\frac{x}{4}=\frac{6}{8}$.

Zadanie nr 3

Za $4$ kg jabłek zapłacono $14$ zł. Ile kosztuje $6$ kg tych jabłek?

Zadanie nr 3

Na mapie w skali $1:100\,000$ odległość między miastami wynosi $7$ cm. Ile kilometrów to w rzeczywistości?

Zadanie nr 3

W proporcji $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ zachodzi:

A $a\cdot d=b\cdot c$
B $a\cdot b=c\cdot d$
C $a+d=b+c$
D $a-b=c-d$
Zadanie nr 4

Które wielkości są odwrotnie proporcjonalne?

A liczba kupionych bułek i zapłacona kwota
B czas jazdy i przebyta droga przy stałej prędkości
C prędkość i czas przejazdu ustalonej trasy
D bok kwadratu i jego obwód
Zadanie nr 4

Kwotę $120$ zł podzielono w stosunku $2:3$. Mniejsza część wynosi:

A $40$ zł
B $48$ zł
C $60$ zł
D $24$ zł
Zadanie nr 4

Rozwiąż proporcję $\frac{5}{x}=\frac{10}{6}$.

Zadanie nr 5

Kwotę $180$ zł podzielono w stosunku $2:3$. Oblicz obie części.

Zadanie nr 5

Rozwiąż proporcję $\frac{6}{x}=\frac{9}{12}$.

Zadanie nr 5

$3$ kg jabłek kosztuje $12$ zł. Ile kosztuje $5$ kg (cena proporcjonalna)?

Zadanie nr 6

Odcinek długości $56$ cm podzielono w stosunku $3:4$. Oblicz długości obu części.

Zadanie nr 6

Odcinek długości $3$ cm na planie w skali $1:250$ odpowiada w rzeczywistości:

A $7{,}5$ m
B $750$ m
C $0{,}75$ m
D $75$ m
Zadanie nr 6

W proporcjonalności prostej, gdy jedna wielkość rośnie $2$ razy, druga:

A maleje $2$ razy
B nie zmienia się
C rośnie $2$ razy
D rośnie $4$ razy
Zadanie nr 7

$5$ pracowników wykona zadanie w $12$ dni. Ile dni zajmie to $6$ pracownikom, przy tej samej wydajności?

A $10$ dni
B $14{,}4$ dnia
C $15$ dni
D $11$ dni
Zadanie nr 7

Trzech wspólników wniosło do firmy $10$ tys., $15$ tys. i $25$ tys. zł. Zysk $40$ tys. zł dzielą proporcjonalnie do wkładów. Ile dostanie każdy?

Zadanie nr 7

Samochód przejechał $150$ km w $2$ h. Ile przejedzie w $5$ h przy tej samej prędkości?

Zadanie nr 8

Na mapie w skali $1:200\,000$ odległość między miastami wynosi $7$ cm. Ile kilometrów dzieli te miasta w rzeczywistości?

Zadanie nr 8

Samochód spala $6$ litrów paliwa na $100$ km. Ile litrów zużyje na trasie $350$ km?

Zadanie nr 8

Podziel $60$ zł w stosunku $2:3$.

Zadanie nr 9

Do wypieku $12$ bułek potrzeba $900$ g mąki. Ile mąki potrzeba na $20$ bułek?

Zadanie nr 9

W skali $1:50$ model budynku ma wysokość $30$ cm. Rzeczywista wysokość to:

A $0{,}6$ m
B $150$ m
C $1500$ m
D $15$ m
Zadanie nr 9

Stosunek $4:6$ po skróceniu to:

A $4:6$
B $1:2$
C $3:2$
D $2:3$
Zadanie nr 10

Wielkości $x$ i $y$ są wprost proporcjonalne. Gdy $x=8$, to $y=20$. Ile wynosi $y$ dla $x=14$?

A $26$
B $28$
C $32$
D $35$
Zadanie nr 10

Odcinek długości $56$ cm podzielono w stosunku $3:5$. Oblicz długości obu części.

Zadanie nr 10

Na mapie w skali $1:200\,000$ dwa miasta dzieli $4$ cm. Jaka jest odległość rzeczywista w km?

Zadanie nr 11

Kwotę $2400$ zł podzielono między trzy osoby w stosunku $1:2:5$. Ile otrzymała każda z nich?

Zadanie nr 11

Które wielkości są wprost proporcjonalne?

A liczba robotników i czas wykonania pracy
B prędkość i czas przejazdu tej samej trasy
C liczba kupionych biletów i zapłacona kwota
D liczba osób i wielkość porcji przy stałej ilości jedzenia
Zadanie nr 11

Rozwiąż proporcję $\frac{x}{9}=\frac{2}{3}$.

A $3$
B $6$
C $4{,}5$
D $27$
Zadanie nr 12

Samochód zużywa $6$ litrów benzyny na $100$ km. Ile paliwa zużyje na trasie $250$ km?

Zadanie nr 12

Mapa ma skalę $1:25\,000$. Jaka jest rzeczywista odległość odpowiadająca $12$ cm na mapie? Podaj w kilometrach.

Zadanie nr 12

$4$ robotników wykona pracę w $6$ dni. Ile dni zajmie to $8$ robotnikom (proporcjonalność odwrotna)?

Zadanie nr 13

W proporcji $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ zachodzi zawsze:

A $a\cdot c=b\cdot d$
B $a\cdot d=b\cdot c$
C $a+d=b+c$
D $a-b=c-d$
Zadanie nr 13

Do wypieku ciasta na $6$ osób potrzeba $300$ g mąki. Ile mąki potrzeba na ciasto dla $15$ osób?

Zadanie nr 13

Podziel kwotę $100$ zł w stosunku $1:4$.

Zadanie nr 14

Do przygotowania zaprawy zmieszano cement z piaskiem w stosunku $1:4$. Ile kilogramów cementu potrzeba na $60$ kg zaprawy?

Zadanie nr 14

Odległość $4$ km w rzeczywistości odpowiada na mapie odcinkowi $8$ cm. Jaka jest skala mapy?

A $1:5000$
B $1:50\,000$
C $1:500$
D $1:500\,000$
Zadanie nr 14

Który zapis to proporcja prawdziwa?

A $\frac{2}{3}=\frac{4}{6}$
B $\frac{2}{3}=\frac{3}{4}$
C $\frac{1}{2}=\frac{2}{3}$
D $\frac{3}{5}=\frac{5}{3}$
Zadanie nr 15

$8$ kosiarek skosi trawnik w $6$ godzin. Ile godzin zajmie to $4$ kosiarkom?

Zadanie nr 15

Kąty trójkąta mają się jak $1:4:5$. Oblicz ich miary i określ rodzaj trójkąta.

Zadanie nr 15

Przepis na ciasto dla $4$ osób wymaga $200$ g mąki. Ile mąki na $10$ osób?

Zadanie nr 16

Wielkości $x$ i $y$ są odwrotnie proporcjonalne, przy czym dla $x=3$ mamy $y=20$. Ile wynosi $y$ dla $x=12$?

A $80$
B $11$
C $5$
D $60$
Zadanie nr 16

Jeśli $\frac{a}{b}=\frac{3}{7}$, to $\frac{b}{a}$ wynosi:

A $\frac{7}{3}$
B $\frac{3}{7}$
C $\frac{10}{3}$
D $-\frac37$
Zadanie nr 16

Stosunek liczby chłopców do dziewcząt w klasie to $3:2$. Jeśli chłopców jest $15$, to dziewcząt jest:

A $5$
B $15$
C $10$
D $25$
Zadanie nr 17

Trzej wspólnicy wnieśli do firmy odpowiednio $5000$ zł, $8000$ zł i $12\,000$ zł. Zysk $12\,500$ zł podzielono proporcjonalnie do wkładów. Ile otrzymał każdy wspólnik?

Zadanie nr 17

Działka o powierzchni $1200$ m$^2$ została podzielona między trzech spadkobierców w stosunku $2:3:7$. Ile arów otrzymał każdy?

Zadanie nr 17

Podziel $84$ cukierki między troje dzieci w stosunku $2:3:2$.

Zadanie nr 18

W klasie stosunek liczby dziewcząt do chłopców wynosi $4:5$, a uczniów jest łącznie $27$. Ilu jest chłopców?

Zadanie nr 18

Na planie mieszkania w skali $1:100$ pokój ma wymiary $4$ cm na $3$ cm. Oblicz rzeczywiste wymiary pokoju i jego powierzchnię.

Zadanie nr 18

Rozwiąż proporcję $\frac{x+1}{6}=\frac{x}{4}$.

Zadanie nr 19

Zapas paszy wystarcza dla $30$ koni na $24$ dni. Na ile dni wystarczy ten sam zapas, jeśli w stajni będzie $40$ koni?

Zadanie nr 19

Czterech malarzy pomaluje halę w $9$ dni. W ile dni pomaluje ją sześciu malarzy, pracujących w tym samym tempie?

Zadanie nr 19

Mieszanka betonu to cement, piasek i żwir w stosunku $1:2:4$. Ile każdego składnika w $210$ kg mieszanki?

Zadanie nr 20

Prostokąt ma obwód $84$ cm, a stosunek jego boków wynosi $3:4$. Oblicz wymiary i pole tego prostokąta.

Zadanie nr 20

W stopie metali miedź i cynk występują w stosunku $7:3$. Ile kilogramów każdego metalu znajduje się w $45$ kg stopu? Ile procent stopu stanowi cynk?

Zadanie nr 20

Wykaż, że jeśli $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$, to $\frac{a+b}{b}=\frac{c+d}{d}$.

Zadanie nr 16 · Próbny 2021
Pewną kwotę rozdzielono na trzy nagrody pieniężne. Marcin dostał \(2\) razy więcej pieniędzy niż Jędrek, a Kamil \(2\) razy mniej niż Jędrek. Uzasadnij, że Kamil otrzymał \(\frac{1}{7}\) tej kwoty.
Zadanie nr 19 · Próbny 2021
W przepisie na surówkę stosunek ilości kapusty do ilości marchewki wynosi \(7:3\). Według tego przepisu jedna porcja otrzymanej surówki waży \(18 dag\). Oblicz, ile dekagramów kapusty i ile dekagramów marchewki należy przygotować, aby wykonać \(15\) porcji takiej surówki.
Zadanie nr 3 · Egz. 8-kl. 2020
Trzej właściciele firmy - Adam, Janusz i Oskar - kupili samochód dostawczy za kwotę \(154\;000zł\). Kwoty wpłacone przez Adama, Janusza i Oskara są - odpowiednio - w stosunku \(2:3:6\). Jaką kwotę wpłacił Janusz?
A \(14\;000 zł\)
B \(28\;000 zł\)
C \(42\;000 zł\)
D \(84\;000 zł\)
Zadanie nr 18 · Egz. 8-kl. 2020
Rada rodziców na nagrody dla dwóch klas ósmych przeznaczyła \(1080 zł\). W klasie \(8a\) jest \(32\) uczniów, a w klasie \(8b\) jest \(28\) uczniów. Pieniądze podzielono proporcjonalnie do liczby uczniów w danej klasie. Oblicz kwotę, jaką każda z klas otrzymała na nagrody. Zapisz obliczenia.
Zadanie nr 9 · Egz. 8-kl. 2012
W turnieju szachowym wzięło udział \(48\) uczniów pewnego gimnazjum. Liczby uczestników turnieju z klas pierwszych, drugich i trzecich są do siebie w proporcji \(3:8:5\). Liczba uczniów klas pierwszych, którzy wzięli udział w turnieju, jest równa:
A \(8\)
B \(9\)
C \(10\)
D \(11\)
Zadanie nr 1 · Egz. 8-kl. 2006
Aby przygotować suchą zaprawę do tynkowania ścian, należy zmieszać piasek, wapno i cement odpowiednio w stosunku \(15:4:1\). W którym wierszu tabeli podane są właściwe ilości składników potrzebnych do otrzymania \(140kg\) takiej zaprawy?

Matematyka jest prosta
A I
B II
C III
D IV
Zadanie nr 30 · Egz. 8-kl.
Trzy sąsiadki zamówiły wspólnie kawę w sklepie internetowym. Kawa dla pani Malinowskiej miała kosztować \(120zł\), a dla pani Wiśniewskiej i pani Śliwińskiej – po \(90zł\). Jednak przy zakupie otrzymały rabat i za zamówioną kawę zapłaciły tylko \(260zł\). Ile pieniędzy powinna zapłacić każda z pań, aby jej wpłata była proporcjonalna do pierwotnej wartości zamówienia?
Zacznij dziś

Zacznij naukę już dziś
— to nic nie kosztuje

Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.

🚀 Załóż konto za darmo → 📄 Przeglądaj arkusze ✉️ Napisz do nas