Klasa 7 SP — teoria, wzory, quizy i zadania do tego tematu.
Bank dopisuje do wpłaconej kwoty odsetki liczone jako procent od kapitału:
$$\text{odsetki}=\text{kapitał}\cdot\frac{p}{100}$$
Przykład: od $2000$ zł przy $5\%$ rocznie odsetki wynoszą $0{,}05\cdot2000=100$ zł.
Od odsetek pobierany jest podatek $19\%$. Zamiast liczyć podatek i odejmować, szybciej od razu policzyć, ile zostaje:
$$\text{do wypłaty}=\text{odsetki}\cdot0{,}81$$
Przykład: z $300$ zł odsetek zostaje $300\cdot0{,}81=243$ zł.
Po dopisaniu odsetek do kapitału w kolejnym roku procent liczy się już od większej kwoty:
$$K_n=K_0\cdot\left(1+\frac{p}{100}\right)^n$$
Przykład: $1000$ zł na $2$ lata przy $10\%$ daje $1000\cdot1{,}1^2=1210$ zł — o $10$ zł więcej niż przy prostym naliczaniu.
$$\text{po podwyżce o } p\%:\ a\cdot\left(1+\tfrac{p}{100}\right),\qquad \text{po obniżce o } p\%:\ a\cdot\left(1-\tfrac{p}{100}\right)$$
Podwyżka o $10\%$ i następnie obniżka o $10\%$ nie wraca do ceny wyjściowej: $200\to220\to198$ zł, bo drugi procent liczymy od większej kwoty.
Jeśli po podwyżce o $20\%$ cena wynosi $360$ zł, to cena początkowa to:
$$360:1{,}2=300\ \text{zł}$$
Dzielimy, a nie odejmujemy $20\%$ od $360$ — to dałoby błędne $288$ zł.
To dwie różne miary tej samej zmiany:
Zawsze sprawdzaj, od czego liczysz procent. Ta sama zmiana z $4\%$ na $6\%$ to jednocześnie $2$ punkty procentowe i aż $50\%$ wzrostu — obie odpowiedzi są poprawne, ale odpowiadają na inne pytania.
$$\text{wzrost o } p\%:\ a\cdot\left(1+\tfrac{p}{100}\right),\qquad \text{spadek o } p\%:\ a\cdot\left(1-\tfrac{p}{100}\right)$$
Wzrost o $20\%$ to mnożenie przez $1{,}2$, spadek o $35\%$ — przez $0{,}65$.
Jeśli po obniżce o $30\%$ towar kosztuje $91$ zł, to $91$ stanowi $70\%$ ceny pełnej:
$$91:0{,}7=130\ \text{zł}$$
Częsty błąd to doliczenie $30\%$ do $91$ zł — daje $118{,}30$ zł, czyli wynik fałszywy, bo procent liczy się od innej podstawy.
Przy dwóch zmianach po kolei mnożymy współczynniki, a nie dodajemy procenty:
$$+10\%,\ \text{potem} +10\%:\quad 1{,}1\cdot1{,}1=1{,}21 \ \text{(a nie } 1{,}2)$$
$$+50\%,\ \text{potem} -50\%:\quad 1{,}5\cdot0{,}5=0{,}75$$
Wzrost i taki sam procentowo spadek nigdy nie wracają do punktu wyjścia — drugi procent liczony jest od innej kwoty.
Gdy porównujemy dwie wartości wyrażone w procentach, ich różnicę podajemy w punktach procentowych.
Frekwencja wzrosła z $54\%$ do $61\%$ — to wzrost o $7$ punktów procentowych. Wzrost względny to $\frac{7}{54}\approx13\%$. Obie liczby są poprawne, ale opisują co innego i nie wolno ich mylić.
$$\text{brutto}=\text{netto}\cdot\left(1+\tfrac{VAT}{100}\right)$$
Marża doliczana do ceny zakupu działa tak samo jak podwyżka. Odsetki od lokaty za jeden rok to $K\cdot\frac{p}{100}$, a stan konta to $K\left(1+\frac{p}{100}\right)$.
$$C_p=\frac{m_{\text{substancji}}}{m_{\text{roztworu}}}\cdot100\%$$
W mianowniku jest masa całego roztworu, a nie samej wody. Dolewanie wody nie zmienia masy substancji — zmienia tylko mianownik.
Zawsze ustal, od czego liczony jest procent. Ten sam procent od innej podstawy daje inną kwotę — to źródło większości błędów w zadaniach o rabatach, podwyżkach i stężeniach.
Co robi: rozróżnia dwa sposoby opisania tej samej zmiany wielkości wyrażonej w procentach — różnicę bezwzględną i względną.
Elementy: $p_1$ to wartość początkowa, $p_2$ końcowa. Punkty procentowe to zwykłe odejmowanie; procent zmiany odnosimy zawsze do wartości początkowej.
Przykład: oprocentowanie wzrosło z $4\%$ na $6\%$. To wzrost o $6-4=2$ punkty procentowe, ale jednocześnie o $\frac{2}{4}\cdot100\%=50\%$.
Gdzie to spotkasz: w komunikatach o stopach procentowych, bezrobociu i sondażach — media często mylą te dwie miary.
Pułapka: obie odpowiedzi są poprawne, ale odpowiadają na różne pytania. Zawsze sprawdzaj, czy pytanie brzmi „o ile punktów procentowych”, czy „o ile procent”.
Ile wynosi $40\%$ z $250$?
Jakim procentem liczby $60$ jest liczba $9$?
Liczba $30$ stanowi $25\%$ pewnej liczby. Jaka to liczba?
Cena $180$ zł wzrosła o $20\%$. Nowa cena to:
Kurtka kosztowała $400$ zł i staniała o $35\%$. Ile kosztuje teraz?
Poparcie dla projektu wzrosło z $32\%$ do $38\%$. O ile punktów procentowych wzrosło?
Bluza po obniżce o $30\%$ kosztuje $91$ zł. Ile kosztowała przed obniżką?
Do banku wpłacono $2000$ zł na lokatę o oprocentowaniu $5\%$ w skali roku. Ile będzie na koncie po roku (pomijamy podatek)?
Ułamek $\frac{3}{8}$ zapisany w procentach to:
W klasie liczącej $25$ osób $60\%$ to dziewczęta. Ilu jest chłopców?
Cena netto towaru to $200$ zł. Ile wynosi cena brutto przy stawce VAT $23\%$?
Pensja $3000$ zł wzrosła najpierw o $10\%$, a potem jeszcze o $10\%$. Ile wynosi po obu podwyżkach?
W sklepie obowiązuje rabat $15\%$, a klient ma dodatkową kartę na $10\%$ zniżki liczonej od ceny już obniżonej. Ile zapłaci za towar za $500$ zł?
Liczba $x$ wzrosła o $50\%$, a potem zmalała o $50\%$. Wynik to:
Cena paliwa wzrosła z $6{,}40$ zł do $7{,}04$ zł za litr. O ile procent wzrosła?
W roztworze o masie $400$ g znajduje się $60$ g soli. Stężenie procentowe wynosi:
Rower kosztował $1200$ zł. W maju staniał o $10\%$, a w lipcu podrożał o $20\%$. Ile kosztuje po tych zmianach i o ile procent różni się od ceny początkowej?
Do $300$ g roztworu o stężeniu $10\%$ dolano $200$ g wody. Jakie jest stężenie nowego roztworu?
Sklep kupuje towar za $80$ zł i sprzedaje z $45\%$ marży doliczanej do ceny zakupu. Ile wynosi cena sprzedaży i ile sklep zarabia na jednej sztuce?
Frekwencja w wyborach wyniosła $54\%$ w pierwszej turze i $61\%$ w drugiej. Podaj zmianę w punktach procentowych oraz zmianę względną w procentach (zaokrąglij do jednego miejsca po przecinku).
Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.