Redukcja wyrazów podobnych

Wszystkie wyrazy mają tę samą literę, więc działamy na współczynnikach:

$$(5+3-2)x=6x$$

Odpowiedź: B. $6x$.

Jednomian to iloczyn liczby i liter — bez dodawania i odejmowania.

Wyrażenie $5xy$ spełnia ten warunek. Pozostałe są sumami algebraicznymi.

Odpowiedź: B. $5xy$.

Grupujemy osobno wyrazy z $a$ i osobno z $b$:

$$(4a-a)+(3b+2b)=3a+5b$$

Uwaga: wyrazów z różnymi literami nie łączymy.

Odpowiedź: $3a+5b$.

Grupujemy osobno wyrazy z $a$ i z $b$:

$$(7a+2a)+(-3b+5b)=9a+2b$$

Odpowiedź: $9a+2b$.

Mnożymy każdy składnik w nawiasie przez $3$:

$$3\cdot2x-3\cdot4=6x-12$$

Odpowiedź: $6x-12$.

Mnożymy przez $3$ każdy składnik sumy:

$$3\cdot2x+3\cdot5=6x+15$$

Odpowiedź: $6x+15$.

Minus przed nawiasem zmienia znak każdego składnika:

$$-2\cdot3x+(-2)\cdot(-5)=-6x+10$$

Najczęstszy błąd: pozostawienie $-10$ zamiast $+10$ — minus razy minus daje plus.

Odpowiedź: C. $-6x+10$.

Największy wspólny dzielnik liczb $6$ i $9$ to $3$:

$$6x+9=3(2x+3)$$

Sprawdzenie przez wymnożenie: $3\cdot2x=6x$ oraz $3\cdot3=9$ ✔

Odpowiedź: C. $3(2x+3)$.

$$4x=16 \quad\Rightarrow\quad x=4$$

Sprawdzenie: $4\cdot4-6=10$ ✔

Odpowiedź: $x=4$.

Mnożymy osobno współczynniki i osobno litery:

$$2\cdot3=6,\qquad x\cdot x=x^2$$

$$2x\cdot3x=6x^2$$

Uwaga: to mnożenie, więc powstaje $x^2$. Przy dodawaniu $2x+3x$ wyszłoby $5x$.

Odpowiedź: $6x^2$.

Po rozwinięciu lewej strony w A: $2x+2=2x+2$ — obie strony identyczne, więc równanie jest tożsamościowe.

B jest sprzeczne ($1=2$), C i D mają po jednym rozwiązaniu.

Odpowiedź: A.

Minus przed nawiasem zmienia znak każdego składnika:

$$5x-2x+7=3x+7$$

Sprawdzenie dla $x=1$: wyjściowo $5-(2-7)=5+5=10$, a po uproszczeniu $3+7=10$ ✔

Odpowiedź: A. $3x+7$.

Podstawiamy $x=3$:

$$2\cdot3^2-3\cdot3=2\cdot9-9=18-9=9$$

Uwaga na kolejność: najpierw potęga $3^2=9$, potem mnożenie.

Odpowiedź: $9$.

Mnożymy jednomian przez każdy składnik sumy:

$$2a\cdot3a=6a^2,\qquad 2a\cdot(-4)=-8a$$

$$2a(3a-4)=6a^2-8a$$

Odpowiedź: $6a^2-8a$.

Krok 1 — niewiadome na lewo, liczby na prawo:

$$5x-2x=9+3 \quad\Rightarrow\quad 3x=12$$

Krok 2 — dzielimy:

$$x=4$$

Sprawdzenie: lewa $5\cdot4-3=17$, prawa $2\cdot4+9=17$ ✔

Odpowiedź: $x=4$.

Krok 1 — wspólny czynnik liczbowy. NWD liczb $12$ i $8$ to $4$.

Krok 2 — wspólna litera. Oba wyrazy zawierają co najmniej jedno $x$.

Krok 3 — wyłączamy $4x$:

$$12x^2-8x=4x(3x-2)$$

Sprawdzenie: $4x\cdot3x=12x^2$ oraz $4x\cdot(-2)=-8x$ ✔

Odpowiedź: $4x(3x-2)$.

W D po odjęciu $x$ zostaje $4=9$ — fałsz, więc równanie nie ma rozwiązań (sprzeczne).

Pozostałe mają rozwiązania: A $x=0$, B $x=3$, C $x=0$.

Odpowiedź: D.

To wyrazy podobne — mają tę samą część literową $x^2$. Dodajemy tylko współczynniki:

$$(3+5)x^2=8x^2$$

Uwaga: wykładnik nie zmienia się przy dodawaniu. Wynik $8x^4$ powstałby przy mnożeniu $3x^2\cdot5x^2=15x^4$ — ale wtedy współczynniki też by się mnożyły.

Odpowiedź: D. $8x^2$.

Krok 1 — opuszczamy nawiasy:

$$2x+6+3x-3$$

Krok 2 — redukujemy:

$$5x+3$$

Odpowiedź: $5x+3$.

Krok 1 — opuszczamy nawiasy:

$$4x-8+3x+3$$

Krok 2 — redukujemy:

$$7x-5$$

Sprawdzenie dla $x=2$: wyjściowo $0+9=9$, a po uproszczeniu $14-5=9$ ✔

Odpowiedź: $7x-5$.

Najpierw zwiększamy o $5$: $(x+5)$, potem całość mnożymy przez $2$:

$$2(x+5)$$

Uwaga na nawias: bez niego ($2x+5$) pomnożylibyśmy przez $2$ tylko $x$, a nie całą sumę.

Odpowiedź: B. $2(x+5)$.

Wspólnym czynnikiem jest $x$. Po jego wyłączeniu z drugiego wyrazu zostaje $1$:

$$x^2+x=x(x+1)$$

Najczęstszy błąd: zapisanie $x(x+0)$ — po wyłączeniu $x$ z wyrazu $x$ zostaje jedynka, a nie zero.

Sprawdzenie: $x\cdot x+x\cdot1=x^2+x$ ✔

Odpowiedź: B. $x(x+1)$.

Krok 1 — opuszczamy nawiasy:

$$3x-6=2x+2$$

Krok 2 — grupujemy:

$$3x-2x=2+6 \quad\Rightarrow\quad x=8$$

Sprawdzenie: lewa $3\cdot6=18$, prawa $2\cdot9=18$ ✔

Odpowiedź: $x=8$.

Podstawiamy $a=-2$, pamiętając o kolejności działań:

$$3\cdot(-2)^2-2\cdot(-2)$$

Kwadrat liczby ujemnej jest dodatni:

$$(-2)^2=4$$

$$3\cdot4+4=12+4=16$$

Uwaga na drugi składnik: odjęcie liczby ujemnej to dodawanie.

Odpowiedź: $16$.

Krok 1 — opuszczamy nawias (uwaga na minus):

$$5x-2x+6+4$$

Krok 2 — redukujemy:

$$3x+10$$

Najczęstszy błąd: $5x-2x-6$ — minus dotyczy całego nawiasu, więc $-2\cdot(-3)=+6$.

Odpowiedź: $3x+10$.

Mnożymy przez $-3$ każdy z trzech składników:

$$-3\cdot2x=-6x$$

$$-3\cdot(-5y)=+15y$$

$$-3\cdot1=-3$$

$$-6x+15y-3$$

Uwaga: mnożenie przez liczbę ujemną zmienia znak każdego składnika.

Odpowiedź: $-6x+15y-3$.

Obie strony są identyczne, więc równanie spełnia każda liczba — jest tożsamościowe.

Po odjęciu $2x$ zostaje $3=3$ — zawsze prawda.

Odpowiedź: C. nieskończenie wiele.

Wyrazy podobne mają identyczną część literową.

Para $5xy$ i $-xy$ ma tę samą część $xy$, więc redukuje się do $4xy$.

Pozostałe różnią się: potęgą ($x$ i $x^2$), liczbą liter ($ab$ i $a$) albo obecnością litery ($4a$ i $4$).

Odpowiedź: C. $5xy$ i $-xy$.

Krok 1 — odejmujemy $3$:

$$\frac{x}{2}=4$$

Krok 2 — mnożymy przez $2$:

$$x=8$$

Sprawdzenie: $\frac82+3=4+3=7$ ✔

Odpowiedź: $x=8$.

Krok 1 — pole jako iloczyn boków:

$$P=3a(2a+4)$$

Krok 2 — wymnażamy:

$$3a\cdot2a+3a\cdot4=6a^2+12a$$

Odpowiedź: $P=6a^2+12a$.

Wyrazy podobne muszą mieć tę samą literę w tej samej potędze. Tutaj potęgi są różne ($x$ i $x^2$), więc nie są podobne i nie można ich zredukować.

Odpowiedź: A.

Mnożymy współczynniki, a wykładniki przy tej samej literze dodajemy:

$$2\cdot4=8,\qquad x^1\cdot x^2=x^3$$

$$2x\cdot4x^2=8x^3$$

Odpowiedź: A. $8x^3$.

Krok 1 — równanie. Niech liczba to $x$:

$$3x+5=26$$

Krok 2 — rozwiązujemy:

$$3x=21 \quad\Rightarrow\quad x=7$$

Sprawdzenie: trzykrotność $7$ to $21$, o $5$ więcej to $26$ ✔

Odpowiedź: szukana liczba to $7$.

Krok 1 — pierwsze mnożenie:

$$2x(x+3)=2x^2+6x$$

Krok 2 — drugie mnożenie (pamiętamy o minusie przed nim):

$$-x(2x-1)=-2x^2+x$$

Krok 3 — składamy i redukujemy:

$$2x^2+6x-2x^2+x=7x$$

Sprawdzenie dla $x=2$: wyjściowo $4\cdot5-2\cdot3=20-6=14$, a po uproszczeniu $7\cdot2=14$ ✔

Warto zauważyć: wyrazy z $x^2$ całkowicie się zniosły.

Odpowiedź: $7x$.

Krok 1 — opuszczamy nawiasy:

$$6x-2-3x-6=5$$

Krok 2 — redukujemy lewą stronę:

$$3x-8=5$$

Krok 3 — rozwiązujemy:

$$3x=13 \quad\Rightarrow\quad x=\frac{13}{3}$$

Sprawdzenie: $3\cdot\frac{13}{3}-8=13-8=5$ ✔

Odpowiedź: $x=\frac{13}{3}=4\frac13$.

Krok 1 — czynnik liczbowy. NWD liczb $15$ i $10$ to $5$.

Krok 2 — czynniki literowe. Oba wyrazy zawierają co najmniej jedno $a$ i jedno $b$, więc wyłączamy $ab$.

Krok 3 — wyłączamy $5ab$:

$$15a^2b-10ab^2=5ab(3a-2b)$$

Sprawdzenie: $5ab\cdot3a=15a^2b$ ✔ oraz $5ab\cdot(-2b)=-10ab^2$ ✔

Zasada: wyłączamy najwyższą potęgę litery, która występuje w każdym wyrazie.

Odpowiedź: $5ab(3a-2b)$.

Krok 1 — równanie z obwodu:

$$x+(x+3)+(2x-1)=22$$

Krok 2 — redukujemy:

$$4x+2=22 \quad\Rightarrow\quad 4x=20 \quad\Rightarrow\quad x=5$$

Krok 3 — boki:

$$x=5,\qquad x+3=8,\qquad 2x-1=9$$

Sprawdzenie obwodu: $5+8+9=22$ ✔, a nierówność trójkąta ($5+8>9$) też spełniona ✔

Odpowiedź: boki mają $5$, $8$ i $9$.

Krok 1 — obwód to suma boków:

$$O=2x+(3x-1)+(x+5)$$

Krok 2 — redukujemy:

$$O=6x+4$$

Krok 3 — dla $x=4$:

$$6\cdot4+4=28$$

Sprawdzenie przez boki: $8$, $11$ i $9$, a $8+11+9=28$ ✔

Kontrola sensu: wszystkie boki wyszły dodatnie i spełniają nierówność trójkąta ($8+9>11$), więc taki trójkąt istnieje.

Odpowiedź: $O=6x+4$, dla $x=4$ obwód wynosi $28$.

Równanie ma nieskończenie wiele rozwiązań, gdy obie strony są identyczne.

Krok 1 — porównujemy. Wyrazy wolne są równe ($4=4$), więc wystarczy zrównać współczynniki przy $x$:

$$m=2$$

Sprawdzenie: dla $m=2$ równanie to $2x+4=2x+4$ — tożsamość ✔

Uwaga: dla każdego innego $m$ równanie miałoby dokładnie jedno rozwiązanie.

Odpowiedź: $m=2$.

Krok 1 — opuszczamy nawias:

$$3x+6-3x$$

Krok 2 — redukujemy. Wyrazy z $x$ znoszą się nawzajem:

$$6$$

Wniosek. Po uproszczeniu w wyrażeniu nie ma już litery $x$, więc jego wartość nie zależy od tego, co za $x$ podstawimy. ∎

Sprawdzenie na trzech wartościach:

• $x=0$: $3\cdot2-0=6$ ✔
• $x=5$: $3\cdot7-15=21-15=6$ ✔
• $x=-1$: $3\cdot1+3=6$ ✔

Uwaga metodyczna: sprawdzenie kilku liczb sugeruje wynik, ale dowodem jest dopiero przekształcenie algebraiczne z kroków $1$ i $2$.

Odpowiedź: wartość zawsze wynosi $6$.