Liczby wymierne — działania

Mnożąc potęgi o tej samej podstawie, dodajemy wykładniki:

$$2^3\cdot2^4=2^{3+4}=2^7$$

Sprawdzenie: $8\cdot16=128=2^7$ ✔

Uwaga: podstawa się nie zmienia — nie mnożymy jej przez siebie.

Odpowiedź: B. $2^7$.

Przy dzieleniu potęg o tej samej podstawie odejmujemy wykładniki:

$$5^8:5^3=5^{8-3}=5^5$$

Odpowiedź: $5^5$.

Pierwiastek sześcienny to liczba, która podniesiona do trzeciej potęgi daje liczbę pod pierwiastkiem:

$$3^3=27 \quad\Rightarrow\quad \sqrt[3]{27}=3$$

$$5^3=125 \quad\Rightarrow\quad \sqrt[3]{125}=5$$

Odpowiedź: $3$ oraz $5$.

Sprawdzamy:

$$(-2)^3=-8$$

$$\sqrt[3]{-8}=-2$$

Ważna różnica. Pierwiastek sześcienny z liczby ujemnej istnieje, w odróżnieniu od pierwiastka kwadratowego — bo trzecia potęga liczby ujemnej jest ujemna.

Odpowiedź: A. $-2$.

Pamiętamy, że $3=3^1$:

$$3^2\cdot3^5\cdot3^1=3^{2+5+1}=3^8$$

Odpowiedź: $3^8$.

Przy potęgowaniu potęgi wykładniki mnożymy:

$$\left(2^3\right)^2=2^{3\cdot2}=2^6=64$$

Częsty błąd: dodanie wykładników daje $2^5=32$ — to reguła dla iloczynu potęg, nie dla potęgi potęgi.

Odpowiedź: C. $2^6$.

Krok 1 — dzielenie potęg:

$$\frac{2^{10}}{2^{7}}=2^{3}=8$$

Krok 2 — pierwiastek sześcienny:

$$4^3=64 \quad\Rightarrow\quad \sqrt[3]{64}=4$$

Krok 3 — suma:

$$8+4=12$$

Odpowiedź: $12$.

Krok 1 — licznik:

$$7^{5}\cdot7^{4}=7^{9}$$

Krok 2 — dzielenie:

$$\frac{7^{9}}{7^{6}}=7^{3}$$

Skrót: można od razu policzyć $5+4-6=3$.

Odpowiedź: $7^{3}=343$.

Każda liczba różna od zera podniesiona do potęgi zerowej daje $1$.

Dlaczego tak:

$$\frac{10^3}{10^3}=10^{3-3}=10^{0},\qquad \text{a przecież }\frac{1000}{1000}=1$$

Odpowiedź: D. $1$.

Krok 1 — objętość:

$$V=4^3=64\ \text{cm}^3$$

Krok 2 — krawędź z objętości. Odwracamy działanie pierwiastkiem sześciennym:

$$a=\sqrt[3]{216}=6\ \text{cm}$$

Sprawdzenie: $6^3=216$ ✔

Odpowiedź: $64$ cm³ oraz $6$ cm.

Wykładnik jest parzysty, więc wynik jest dodatni:

$$(-3)^4=(-3)(-3)(-3)(-3)=81$$

Uwaga na nawias. Wyrażenie $-3^4$ (bez nawiasu) oznacza $-(3^4)=-81$ — nawias zmienia wszystko.

Odpowiedź: B. $81$.

Potęgujemy licznik i mianownik osobno:

$$\left(\frac{2}{3}\right)^3=\frac{2^3}{3^3}=\frac{8}{27}$$

$$\left(\frac{1}{2}\right)^4=\frac{1}{16}$$

Obserwacja: potęgowanie ułamka właściwego daje liczbę jeszcze mniejszą — wyniki są mniejsze od podstawy.

Odpowiedź: $\frac{8}{27}$ oraz $\frac{1}{16}$.

Krok 1 — sprowadzamy do wspólnej podstawy:

$$8=2^3,\qquad 16=2^4$$

Krok 2 — mnożymy:

$$2^3\cdot2^4=2^7=128$$

Wskazówka. Reguły na potęgi działają dopiero po sprowadzeniu do tej samej podstawy — to najczęstszy pierwszy krok w takich zadaniach.

Odpowiedź: $2^7$.

Obliczamy każdą:

$$3^4=81,\qquad 4^3=64,\qquad 2^6=64,\qquad 5^2=25$$

Największa jest $81$.

Ciekawostka: $4^3$ i $2^6$ są równe, bo $4^3=(2^2)^3=2^6$.

Odpowiedź: A. $3^4$.

Krok 1 — osobno:

$$\sqrt[3]{8}\cdot\sqrt[3]{27}=2\cdot3=6$$

Krok 2 — pod jednym pierwiastkiem:

$$\sqrt[3]{8\cdot27}=\sqrt[3]{216}=6$$

Wniosek. Wyniki są identyczne — pierwiastek z iloczynu równa się iloczynowi pierwiastków:

$$\sqrt[3]{a}\cdot\sqrt[3]{b}=\sqrt[3]{ab}$$

Odpowiedź: oba wyrażenia dają $6$.

Odejmujemy wykładniki:

$$\frac{6^5}{6^5}=6^{5-5}=6^0=1$$

To samo widać wprost: liczba podzielona przez samą siebie daje $1$.

Odpowiedź: C. $1$.

Krok 1 — wspólna podstawa:

$$9=3^2,\qquad 27=3^3$$

Krok 2 — przeliczamy licznik:

$$9^3=\left(3^2\right)^3=3^6,\qquad 3^6\cdot3^2=3^8$$

Krok 3 — mianownik:

$$27^2=\left(3^3\right)^2=3^6$$

Krok 4 — dzielimy:

$$\frac{3^8}{3^6}=3^2=9$$

Sprawdzenie liczbowe: $\frac{729\cdot9}{729}=9$ ✔

Odpowiedź: $9$.

Krok 1 — krawędź:

$$a=\sqrt[3]{1000}=10\ \text{cm}$$

Krok 2 — pole powierzchni. Sześcian ma sześć jednakowych ścian kwadratowych:

$$P=6a^2=6\cdot100=600\ \text{cm}^2$$

Uwaga na jednostki. Objętość podajemy w cm³, a pole w cm² — to naturalna konsekwencja tego, że objętość to trzy wymiary, a pole dwa.

Odpowiedź: krawędź $10$ cm, pole $600$ cm².

Krok 1 — obliczamy każdą liczbę:

$$2^{10}=1024$$

$$10^3=1000$$

$$4^5=\left(2^2\right)^5=2^{10}=1024$$

$$3^6=729$$

Krok 2 — porządkujemy:

$$3^6<10^3<2^{10}=4^5$$

Warto zauważyć. Liczby $2^{10}$ i $4^5$ są równe — różny zapis nie musi oznaczać różnej wartości. Sprowadzenie do wspólnej podstawy ujawnia to od razu.

Odpowiedź: $3^6$, $10^3$, a na końcu równe sobie $2^{10}$ i $4^5$.

Krok 1 — jako kwadrat. Rozbijamy wykładnik na $2\cdot6$:

$$2^{12}=\left(2^{6}\right)^{2}=64^{2}$$

Krok 2 — jako sześcian. Rozbijamy wykładnik na $3\cdot4$:

$$2^{12}=\left(2^{4}\right)^{3}=16^{3}$$

Krok 3 — dlaczego to działa. Wykładnik $12$ dzieli się zarówno przez $2$, jak i przez $3$. Ogólnie: $a^{mn}=\left(a^{m}\right)^{n}$, więc każdy dzielnik wykładnika daje inny sposób zapisu tej samej liczby. $\qquad ∎$

Sprawdzenie: $2^{12}=4096$, a $64^2=4096$ ✔ oraz $16^3=4096$ ✔