Obowiązuje od: 3 sierpnia 2025 r. Podmiot prowadzący: AMKBIT Grzegorz Klekiel (serwis: MATEMATIX), ul. Mechaniczna 5s/2, 67-200 Głogów
NIP: PL6931875330 · REGON: 021 344 565 ·
tel. +48 455 405 228 ·
e-mail: firma@amkbit.pl
§ 1. Czym są pliki cookies
Pliki cookies („ciasteczka") to niewielkie dane informatyczne, głównie pliki tekstowe, zapisywane w urządzeniu końcowym Użytkownika i odczytywane przy korzystaniu z Serwisu. Zazwyczaj zawierają nazwę strony, czas przechowywania oraz unikalny identyfikator.
Podmiotem, który zapisuje i odczytuje pliki cookies na Twoim urządzeniu, jest AMKBIT Grzegorz Klekiel (serwis: MATEMATIX) jako administrator Serwisu. W przypadku cookies stron trzecich — robią to również ich dostawcy (szczegóły w § 9).
Dostosowanie treści i optymalizacja działania — rozpoznanie urządzenia i właściwe wyświetlenie strony oraz interfejsu tablicy interaktywnej zgodnie z preferencjami Użytkownika.
Tworzenie statystyk — zrozumienie sposobu korzystania z Serwisu i tablicy w celu ulepszania struktury i zawartości.
Utrzymanie sesji — po zalogowaniu, aby nie trzeba było ponownie wpisywać danych na każdej podstronie/sesji.
Bezpieczeństwo — wykrywanie nadużyć, ochrona przed atakami i zapewnienie integralności usług czasu rzeczywistego (np. WebRTC).
Marketing/personalizacja — za Twoją zgodą, wyświetlanie treści lepiej dopasowanych do zainteresowań.
Stosujemy cookies „sesyjne” (tymczasowe) — działają do czasu wylogowania, opuszczenia strony lub zamknięcia przeglądarki — oraz „stałe”, które pozostają do upływu wskazanego terminu lub do ich usunięcia przez Użytkownika.
Niezbędne — umożliwiają korzystanie z kluczowych usług (uwierzytelnianie, utrzymanie sesji, podstawowa konfiguracja tablicy). Bez nich Serwis może nie działać poprawnie.
Bezpieczeństwo — pomagają wykrywać nadużycia w uwierzytelnianiu i chronić usługi czasu rzeczywistego.
Wydajnościowe/statystyczne — zbierają informacje o sposobie korzystania z Serwisu dla celów analitycznych.
Funkcjonalne — zapamiętują wybrane ustawienia i personalizację interfejsu (np. język, układ narzędzi, preferencje audio/wideo).
Reklamowe/personalizacyjne — dostarczają treści reklamowych lepiej dopasowanych do zainteresowań Użytkownika (tylko za zgodą).
Zgodą na instalowanie cookies (poza niezbędnymi) możesz zarządzać w banerze cookies wyświetlanym przy pierwszej wizycie oraz w ustawieniach przeglądarki. Zgodę możesz w każdej chwili wycofać lub zmienić — nie wpływa to na zgodność z prawem wcześniejszego wykorzystania cookies.
Większość przeglądarek domyślnie zezwala na cookies. Możesz zablokować ich zapisywanie lub ustawić powiadomienia o każdym zapisie. Instrukcje dla popularnych przeglądarek:
Ograniczenie stosowania cookies może spowodować nieprawidłowe działanie niektórych funkcji Serwisu — zwłaszcza logowania, utrzymania sesji i elementów tablicy interaktywnej (np. zapamiętanie ustawień urządzeń audio/wideo).
W Serwisie mogą pojawiać się cookies podmiotów trzecich (np. dostawcy analityki, usług czasu rzeczywistego, płatności, komunikacji). Podmioty te mogą uzyskiwać dostęp do swoich cookies zgodnie z własnymi politykami. W przypadku wykorzystania reklam on-line — odpowiednie pliki mogą być używane do personalizacji treści (wyłącznie za zgodą).
Polityka cookies może ulegać zmianom z ważnych przyczyn (np. zmiany prawa, technologii, zakresu usług). O zmianach poinformujemy w Serwisie z wyprzedzeniem, nie później niż 7 dni przed wejściem w życie.
Kontakt w sprawach cookies: AMKBIT Grzegorz Klekiel (serwis: MATEMATIX), ul. Mechaniczna 5s/2, 67-200 Głogów, tel. +48 455 405 228, e-mail: firma@amkbit.pl.
Mnożąc potęgi o tej samej podstawie, dodajemy wykładniki:
$$2^3\cdot2^4=2^{3+4}=2^7$$
Sprawdzenie: $8\cdot16=128=2^7$ ✔
Uwaga: podstawa się nie zmienia — nie mnożymy jej przez siebie.
Odpowiedź: B. $2^7$.
Zadanie nr 2
Zapisz w postaci jednej potęgi: $5^8:5^3$.
Przy dzieleniu potęg o tej samej podstawie odejmujemy wykładniki:
$$5^8:5^3=5^{8-3}=5^5$$
Odpowiedź: $5^5$.
Zadanie nr 3
Oblicz $\sqrt[3]{27}$ oraz $\sqrt[3]{125}$.
Pierwiastek sześcienny to liczba, która podniesiona do trzeciej potęgi daje liczbę pod pierwiastkiem:
$$3^3=27 \quad\Rightarrow\quad \sqrt[3]{27}=3$$
$$5^3=125 \quad\Rightarrow\quad \sqrt[3]{125}=5$$
Odpowiedź: $3$ oraz $5$.
Zadanie nr 4
Ile wynosi $\sqrt[3]{-8}$?
A$-2$
B$2$
C$-4$
Dnie istnieje
Sprawdzamy:
$$(-2)^3=-8$$
$$\sqrt[3]{-8}=-2$$
Ważna różnica. Pierwiastek sześcienny z liczby ujemnej istnieje, w odróżnieniu od pierwiastka kwadratowego — bo trzecia potęga liczby ujemnej jest ujemna.
Odpowiedź: A. $-2$.
Zadanie nr 5
Zapisz w postaci jednej potęgi: $3^2\cdot3^5\cdot3$.
Pamiętamy, że $3=3^1$:
$$3^2\cdot3^5\cdot3^1=3^{2+5+1}=3^8$$
Odpowiedź: $3^8$.
Zadanie nr 6
Ile wynosi $\left(2^3\right)^2$?
A$2^5$
B$2^9$
C$2^6$
D$4^3$
Przy potęgowaniu potęgi wykładniki mnożymy:
$$\left(2^3\right)^2=2^{3\cdot2}=2^6=64$$
Częsty błąd: dodanie wykładników daje $2^5=32$ — to reguła dla iloczynu potęg, nie dla potęgi potęgi.
Odpowiedź: C. $2^6$.
Zadanie nr 7
Oblicz wartość wyrażenia $\dfrac{2^{10}}{2^{7}}+\sqrt[3]{64}$.
Krok 1 — dzielenie potęg:
$$\frac{2^{10}}{2^{7}}=2^{3}=8$$
Krok 2 — pierwiastek sześcienny:
$$4^3=64 \quad\Rightarrow\quad \sqrt[3]{64}=4$$
Krok 3 — suma:
$$8+4=12$$
Odpowiedź: $12$.
Zadanie nr 8
Zapisz w postaci jednej potęgi: $\dfrac{7^{5}\cdot7^{4}}{7^{6}}$.
Krok 1 — licznik:
$$7^{5}\cdot7^{4}=7^{9}$$
Krok 2 — dzielenie:
$$\frac{7^{9}}{7^{6}}=7^{3}$$
Skrót: można od razu policzyć $5+4-6=3$.
Odpowiedź: $7^{3}=343$.
Zadanie nr 9
Ile wynosi $10^0$?
A$0$
B$10$
C$-1$
D$1$
Każda liczba różna od zera podniesiona do potęgi zerowej daje $1$.
Warto zauważyć. Liczby $2^{10}$ i $4^5$ są równe — różny zapis nie musi oznaczać różnej wartości. Sprowadzenie do wspólnej podstawy ujawnia to od razu.
Odpowiedź: $3^6$, $10^3$, a na końcu równe sobie $2^{10}$ i $4^5$.
Zadanie nr 20
Wykaż, że liczba $2^{12}$ jest kwadratem pewnej liczby naturalnej i jednocześnie sześcianem pewnej liczby naturalnej. Podaj obie podstawy.
Krok 1 — jako kwadrat. Rozbijamy wykładnik na $2\cdot6$:
$$2^{12}=\left(2^{6}\right)^{2}=64^{2}$$
Krok 2 — jako sześcian. Rozbijamy wykładnik na $3\cdot4$:
$$2^{12}=\left(2^{4}\right)^{3}=16^{3}$$
Krok 3 — dlaczego to działa. Wykładnik $12$ dzieli się zarówno przez $2$, jak i przez $3$. Ogólnie: $a^{mn}=\left(a^{m}\right)^{n}$, więc każdy dzielnik wykładnika daje inny sposób zapisu tej samej liczby. $\qquad ∎$
Sprawdzenie: $2^{12}=4096$, a $64^2=4096$ ✔ oraz $16^3=4096$ ✔
Zadanie nr 3 · Egz. 8-kl. 2022
Liczby: \(x, \left(-\frac{5}{6}\right), y\) są uporządkowane rosnąco. Liczba \(y\) jest o \(0,5\) większa od \(\left(-\frac{5}{6}\right)\), a liczba \(\left(-\frac{5}{6}\right)\) jest o \(0,5\) większa od liczby \(x\). Jakie wartości mają liczby \(x\) i \(y\)?
A\(x=-\frac{4}{3}\) i \(y=-\frac{1}{3}\)
B\(x=-\frac{7}{6}\) i \(y=-\frac{1}{6}\)
C\(x=-\frac{4}{3}\) i \(y=-\frac{1}{2}\)
D\(x=-\frac{7}{6}\) i \(y=-\frac{1}{3}\)
Krok 1. Obliczenie wartości liczby \(y\).
Z treści zadania wynika, że liczba \(y\) jest o \(0,5\) większa od \(\left(-\frac{5}{6}\right)\), zatem:
$$y=-\frac{5}{6}+0,5 \ ,\
y=-\frac{5}{6}+\frac{1}{2} \ ,\
y=-\frac{5}{6}+\frac{3}{6} \ ,\
y=-\frac{2}{6}=-\frac{1}{3}$$
Krok 2. Obliczenie wartości liczby \(x\).
Z treści zadania wynika, że liczba \(x\) jest o \(0,5\) mniejsza od \(\left(-\frac{5}{6}\right)\), zatem:
$$x=-\frac{5}{6}-0,5 \ ,\
x=-\frac{5}{6}-\frac{1}{2} \ ,\
x=-\frac{5}{6}-\frac{3}{6} \ ,\
x=-\frac{8}{6}=-\frac{4}{3}$$
Zadanie nr 10 · Egz. 8-kl. 2022
Plik z prezentacją multimedialną Igora ma rozmiar \(13 MB\) (megabajtów). Plik z prezentacją multimedialną Lidki ma \(2,5\) razy większy rozmiar (wyrażony w MB) niż plik z prezentacją Igora. Plik z prezentacją Lidki ma większy rozmiar niż plik z prezentacją Igora o:
A\(12 MB\)
B\(19,5 MB\)
C\(25 MB\)
D\(32,5 MB\)
Krok 1. Obliczenie rozmiaru pliku Lidki.
Skoro plik Igora ma rozmiar\(13 MB\), a plik Lidki jest \(2,5\) razy większy, to plik Lidki będzie miał
$$2,5\cdot13MB=32,5MB$$
Krok 2. Obliczenie różnicy rozmiarów.
Musimy ustalić, o ile plik Lidki jest większy od pliku Igora, zatem:
$$32,5MB-13MB=19,5MB
Zadanie nr 1 · Próbny 2021
Do sporządzenia napoju użyto:
• \(\frac{1}{6}\) litra soku ananasowego,
• \(0,2\) litra soku z czarnej porzeczki,
• \(\frac{3}{5}\) litra wody.
Objętość przygotowanego napoju jest:
Arówna \(0,75\) litra
Bwiększa niż \(0,75\) litra, ale mniejsza niż \(1\) litr
Crówna \(1\) litr
Dwiększa niż \(1\) litr, ale mniejsza niż \(1,5\) litra
Naszym celem jest zsumowanie objętości każdego z płynów. Pamiętając o tym, że ułamek \(0,2=\frac{2}{10}=\frac{1}{5}\), możemy zapisać, że:
$$V=\frac{1}{6}+0,2+\frac{3}{5} \ ,\
V=\frac{1}{6}+\frac{1}{5}+\frac{3}{5} \ ,\
V=\frac{5}{30}+\frac{6}{30}+\frac{18}{30} \ ,\
V=\frac{29}{30}$$
Wyszło nam, że objętość soku wynosi \(\frac{29}{30}\) litra, co w przybliżeniu dałoby wynik \(0,97\) litra. To oznacza, że objętość przygotowanego napoju jest większa niż \(0,75\) litra, ale mniejsza niż \(1\) litr.
Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, lub F, jeśli jest fałszywe. Każda z liczb jest ułamkiem właściwym. Wartość każdej z liczb jest większa niż \(\frac{1}{2}\).
Każda z liczb jest ułamkiem właściwym.
Wartość każdej z liczb jest większa niż \(\frac{1}{2}\).
Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Ułamkiem właściwy charakteryzuje się tym, że jego licznik jest mniejszy od mianownika. To z kolei oznacza, że ułamek właściwy jest zawsze mniejszy od \(1\).
W przypadku naszych liczb widzimy, że definicji ułamka właściwego na pewno nie spełnia liczba \(\frac{11}{9}\) (jest to tak zwany ułamek niewłaściwy, bo tutaj licznik jest większy od mianownika), więc zdanie jest fałszem.
Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Rzeczywiście, liczby \(\frac{2}{3}\), \(\frac{11}{9}\) oraz \(0,(5)\) są większe od \(\frac{1}{2}\), ale ułamek \(0,06\) jest mniejszy, więc zdanie jest fałszem.
Zadanie nr 2 · Egz. 8-kl. 2021
Dane są cztery liczby \(x\), \(y\), \(t\), \(u\) zapisane za pomocą wyrażeń arytmetycznych:
Sprawdźmy wartość każdej z liczb:
$$x=-62,5+30=-32,5 \ ,\
y=-14,4-12,6=-27 \ ,\
t=-12:0,3=-120:3=-40 \ ,\
u=-8,02\cdot6=-48,12$$
Wszystkie liczby są ujemne, zatem największą z nich będzie \(y=-27\).
Zadanie nr 2 · Próbny 2021
Do sporządzenia napoju użyto:
• \(\frac{1}{6}\) litra soku ananasowego,
• \(0,2\) litra soku z czarnej porzeczki,
• \(\frac{3}{5}\) litra wody.
Uzupełnij zdania. Wybierz odpowiedź spośród oznaczonych literami A i B oraz odpowiedź spośród oznaczonych literami C i D.
Do sporządzenia tego napoju użyto \(\bbox[5px,border:1px solid]{A}\bigg/\bbox[5px,border:1px solid]{B}\) soku ananasowego niż soku z czarnej porzeczki. Objętość soku ananasowego i porzeczkowego łącznie stanowi \(\bbox[5px,border:1px solid]{C}\bigg/\bbox[5px,border:1px solid]{D}\) objętości napoju.
Amniej
Bwięcej
C\(\frac{11}{29}\)
D\(\frac{11}{18}\)
Krok 1. Rozwiązanie pierwszej części zadania.
Musimy ustalić, który ułamek jest większy: \(\frac{1}{6}\) czy \(0,2\). Aby tego dokonać, zamieńmy od razu ułamek dziesiętny na zwykły, czyli \(0,2=\frac{2}{10}=\frac{1}{5}\). Mamy więc porównać ułamek \(\frac{1}{6}\) z \(\frac{1}{5}\). Są to ułamki o jednakowych licznikach, a więc im mniejszy mianownik, tym wartość takiego ułamka jest większa. Mówiąc wprost \(\frac{1}{6}\lt\frac{1}{5}\). To oznacza, że zużyto mniej soku ananasowego niż soku z czarnej porzeczki.
Krok 2. Rozwiązanie drugiej części zadania.
Sumując zawartość soku ananasowego i porzeczkowego, otrzymamy:
$$\frac{1}{6}+\frac{1}{5}=\frac{5}{30}+\frac{6}{30}=\frac{11}{30}$$
Objętość całego napoju to:
$$V=\frac{1}{6}+0,2+\frac{3}{5} \ ,\
V=\frac{1}{6}+\frac{1}{5}+\frac{3}{5} \ ,\
V=\frac{5}{30}+\frac{6}{30}+\frac{18}{30} \ ,\
V=\frac{29}{30}$$
Mamy więc \(\frac{11}{30}\) litra soków w \(\frac{29}{30}\) litra napoju. To oznacza, że nasze dwa soki stanowią:
$$\frac{\frac{11}{30}}{\frac{29}{30}}=\frac{11}{30}:\frac{29}{30}=\frac{11}{30}\cdot\frac{30}{29}=\frac{11}{29}$$
Zadanie nr 2 · Próbny 2021
Wartością wyrażenia \(-1\frac{1}{2}+2\frac{1}{4}:(-0,5)\) jest liczba:
A\(-6\)
B\(-1,5\)
C\(1,5\)
D\(3\)
Chcąc obliczyć wartość tego wyrażenia trzeba pamiętać o kolejności wykonywania działań - najpierw musimy zrobić dzielenie. Aby ułatwić sobie obliczenia, dobrze byłoby zamienić wszystkie liczby na ułamki niewłaściwe, zatem:
$$-1\frac{1}{2}+2\frac{1}{4}:(-0,5)= \ ,\
=-\frac{3}{2}+\frac{9}{4}:\left(-\frac{1}{2}\right)= \ ,\
=-\frac{3}{2}+\frac{9}{4}\cdot\left(-\frac{2}{1}\right)= \ ,\
=-\frac{3}{2}-\frac{9}{2}=-\frac{12}{2}=-6$$
Zadanie nr 3 · Egz. 8-kl. 2021
Uzupełnij zdania. Wybierz odpowiedź spośród oznaczonych literami A i B oraz odpowiedź spośród oznaczonych literami C i D.
Wartość wyrażenia \(\frac{3}{7}+\frac{3}{5}\) jest liczbą \(\bbox[5px,border:1px solid]{A}\bigg/\bbox[5px,border:1px solid]{B}\) Wartość wyrażenia \(\frac{3}{7}-\frac{3}{5}\) jest liczbą \(\bbox[5px,border:1px solid]{C}\bigg/\bbox[5px,border:1px solid]{D}\)
Amniejszą od \(1\)
Bwiększą od \(1\)
Cujemną
Ddodatnią
Krok 1. Ustalenie odpowiedzi do pierwszej części zadania.
Chcąc wykonać dodawanie ułamków zwykłych, musimy doprowadzić je do wspólnego mianownika, zatem:
$$\frac{3}{7}+\frac{3}{5}=\frac{15}{35}+\frac{21}{35}=\frac{36}{35}=1\frac{1}{35}$$
Liczba jest więc większa od \(1\).
Krok 2. Ustalenie odpowiedzi do drugiej części zadania.
Aby wykonać odejmowanie ułamków, także musimy sprowadzić je do wspólnego mianownika:
$$\frac{3}{7}-\frac{3}{5}=\frac{15}{35}-\frac{21}{35}=-\frac{6}{35}$$
Otrzymana liczba jest więc ujemna.
Zadanie nr 3 · Próbny 2021
Która z poniższych nierówności jest prawdziwa?
A\(\frac{25}{9}\lt\frac{23}{9}\)
B\(\frac{5}{4}+\frac{5}{2}\gt4\)
C\(\frac{13}{17}\cdot3\gt\frac{39}{17}\)
D\(\frac{11}{12}\gt\frac{11}{13}\)
Pierwsza nierówność jest nieprawdziwa - kiedy dwa ułamki mają jednakowy mianownik (a tak jest w tym przypadku) to większy jest ten, który ma większy licznik.
Druga nierówność jest nieprawdziwa, ponieważ \(\frac{5}{4}+\frac{5}{2}=\frac{5}{4}+\frac{10}{4}=\frac{15}{4}=3\frac{3}{4}\)
Trzecia nierówność jest nieprawdziwa, ponieważ \(\frac{13}{17}\cdot3=\frac{39}{17}\)
Czwarta nierówność jest prawdziwa - kiedy dwa ułamki mają jednakowy licznik (a tak jest w tym przypadku) to większy jest ten, który ma mniejszy mianownik.
Zadanie nr 4 · Egz. 8-kl. 2021
Dane są cztery wyrażenia:
I. \(-16,55+6,05\)
II. \(-5\frac{3}{4}-4,75\)
III. \(\frac{2}{3}\cdot\left(-15\frac{1}{4}\right)\)
IV. \((-1,5):\frac{1}{7}\)
Wartość którego wyrażenia nie jest równa \(\left(-10\frac{1}{2}\right)\)?
AI
BII
CIII
DIV
Musimy obliczyć każde z podanych wyrażeń, zatem:
I. \(-16,55+6,05=-10,5\)
II. \(-5\frac{3}{4}-4,75=-10,5\)
III. \(\frac{2}{3}\cdot\left(-15\frac{1}{4}\right)=\frac{2}{3}\cdot\left(-\frac{61}{4}\right)=-\frac{122}{12}=-10\frac{2}{12}=-10\frac{1}{6}\)
IV. \((-1,5):\frac{1}{7}=(-1,5)\cdot7=-10,5\)
Wartość inną niż \(-10\frac{1}{2}\) otrzymaliśmy w trzeciej odpowiedzi.
Zadanie nr 4 · Próbny 2021
Dane są trzy wyrażenia:
I. \(6\cdot1\frac{2}{3}\)
II. \(6:1,2\)
III. \(7,25-2\frac{1}{4}\)
Liczbami całkowitymi są wartości wyrażeń:
AI, II i III
BTylko I i II
CTylko II i III
DTylko I i III
Obliczmy wartość każdego z tych wyrażeń:
\(6\cdot1\frac{2}{3}=6\cdot\frac{5}{3}=\frac{30}{3}=10\)
\(6:1,2=60:12=5\)
\(7,25-2\frac{1}{4}=7,25-2,25=5\)
Wartość całkowitą otrzymaliśmy w każdym z tych trzech wyrażeń.
Zadanie nr 4 · Próbny 2021
W którym zestawie liczby zapisano w kolejności od najmniejszej do największej?
Prześledźmy po kolei każdą z odpowiedzi:
Odp. A. - nie musimy obliczać wartości tych liczb. Powinniśmy dostrzec, że pierwsza i trzecia liczba są ujemne, a druga jest dodatnia, więc na pewno nie ma tu kolejności od najmniejszej do największej.
Odp. B. - tutaj liczby są ułożone od największej do najmniejszej, ponieważ przykładowo \(\left(\frac{1}{2}\right)^2=\frac{1}{4}\), natomiast \(\left(\frac{1}{2}\right)^6=\frac{1}{64}\)
Odp. C. - tutaj także mamy liczby ułożone od największej do najmniejszej, ponieważ przy jednakowych licznikach (a takie mamy w tym zestawie) im większy jest mianownik, tym mniejsza jest wartość danego ułamka.
Odp. D. - tutaj faktycznie mamy zapisane liczby od najmniejszej do największej (każda kolejna liczba jest coraz bliżej zera na osi liczbowej).
Zadanie nr 6 · Egz. 8-kl. 2021
Dane są cztery liczby:
$$a=(-2)^2 \ ,\
b=\sqrt{9+16} \ ,\
c=\frac{1}{2}(3-5)^2 \ ,\
d=\sqrt{\frac{25}{4}}$$
Które zdanie jest fałszywe?
AWszystkie liczby są dodatnie.
BLiczba \(b\) jest większa niż liczba \(c\).
CLiczba \(c\) jest dwa razy mniejsza niż liczba \(a\).
DLiczba \(d\) jest 2 razy mniejsza niż liczba \(b\).
ELiczba \(c\) jest większa niż liczba \(d\).
Krok 1. Obliczenie wartości każdej z liczb.
Aby ustalić, które zdanie jest fałszywe, obliczymy wartość każdej z podanych liczb:
\(a=(-2)^2=4 \ ,\
b=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5 \ ,\
c=\frac{1}{2}(3-5)^2=\frac{1}{2}\cdot(-2)^2=\frac{1}{2}\cdot4=2 \ ,\
d=\sqrt{\frac{25}{4}}=\frac{5}{2}=2,5\)
Krok 2. Ocena prawdziwości poszczególnych odpowiedzi.
Sprawdźmy teraz poprawność każdej z odpowiedzi.
Odp. A. - faktycznie, wszystkie liczby są dodatnie
Odp. B. - liczba \(b\) jest jak najbardziej większa od \(c\)
Odp. C. - liczba \(c\) jest rzeczywiście dwa razy mniejsza niż liczba \(a\)
Odp. D. - liczba \(d\) jest faktycznie 2 razy mniejsza niż liczba \(b\)
Odp. E. - liczba \(c\) jest mniejsza (a nie większa) niż liczba \(d\)
Fałszywa było więc ostatnie zdanie.
Zadanie nr 7 · Egz. 8-kl. 2021
Suma dwóch dodatnich liczb \(a\) i \(b\) jest równa \(46\).
Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe. Po zmniejszeniu każdej z tych liczb o \(6\) suma otrzymanych liczb będzie równa \(34\). Po zwiększeniu każdej z tych liczb o połowę suma otrzymanych liczb będzie równa \(69\).
Po zmniejszeniu każdej z tych liczb o \(6\) suma otrzymanych liczb będzie równa \(34\).
Po zwiększeniu każdej z tych liczb o połowę suma otrzymanych liczb będzie równa \(69\).
Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Jeżeli każdą z liczb zmniejszymy o \(6\), to suma dwóch liczb będzie o \(12\) mniejsza. To oznacza, że nowa suma dwóch liczb będzie równa \(46-12=34\), czyli zdanie jest prawdą.
Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Jeżeli każdą z liczb zwiększymy o połowę, to suma otrzymanych liczb będzie \(1,5\) razy większa od początkowej, czyli wyniesie \(1,5\cdot46=69\). Zdanie jest więc prawdą.
Zadanie nr 9 · Egz. 8-kl. 2021
Dane są trzy liczby \(a\), \(b\) i \(c\). Uzupełnij zdania. Wybierz odpowiedź spośród oznaczonych literami A i B oraz odpowiedź spośród oznaczonych literami C i D.
Gdy \(a+b+c=-1\) oraz \(a\) jest liczbą mniejszą od \((-1)\), to suma \((b+c)\) jest \(\bbox[5px,border:1px solid]{A}\bigg/\bbox[5px,border:1px solid]{B}\). Gdy \(a\cdot b\cdot c=1\) oraz \(a\) jest liczbą większą od zera, to iloczyn \((b\cdot c)\) jest \(\bbox[5px,border:1px solid]{C}\bigg/\bbox[5px,border:1px solid]{D}\).
Adodatnia
Bujemna
Cdodatni
Dujemny
Krok 1. Rozwiązanie pierwszej części zadania.
Jeżeli liczba \(a\) jest mniejsza od \(-1\) (czyli może być ona równa np. \(-2, -5, -100\) itd.) to aby cała suma \(a+b+c\) była równa \(-1\), to \(a+b\) musi być liczbą dodatnią.
Krok 2. Rozwiązanie drugiej części zadania.
Jeżeli liczba \(a\) jest większa od zera (czyli jest dodatnia), to iloczyn \(b\cdot c\) także musi być dodatni, aby otrzymać wynik równy \(1\).
Zadanie nr 16 · Egz. 8-kl. 2021
Paweł powiedział, że podzieli tabliczkę czekolady w taki sposób, że bratu przypadnie \(\frac{1}{2}\) całej tabliczki, siostrze \(\frac{5}{12}\) całej tabliczki, a jemu \(\frac{1}{6}\) całej tabliczki. Czy taki podział tabliczki czekolady jest możliwy? Uzasadnij swoją odpowiedź.
Zsumujmy wszystkie ułamki, zgodnie z tym jak Paweł chciał podzielić czekoladę:
$$\frac{1}{2}+\frac{5}{12}+\frac{1}{6}=\frac{6}{12}+\frac{5}{12}+\frac{2}{12}=\frac{13}{12}=1\frac{1}{12}$$
Okazuje się, że zaproponowany podział jest niemożliwy, ponieważ suma wszystkich udziałów jest większa od \(1\). Można więc powiedzieć, że Paweł rozdzielił więcej czekolady, niż miał do dyspozycji.
Zadanie nr 16 · Próbny 2021
Uzasadnij, że istnieje tylko jeden ułamek o mianowniku \(10\), który jest większy niż \(\frac{2}{3}\) i mniejszy niż \(\frac{4}{5}\).
Do zadania można podejść na różne sposoby. Moglibyśmy zauważyć, że \(\frac{2}{3}=0,(6)\) i że \(\frac{4}{5}=0,8\). Jedynym ułamkiem o mianowniku \(10\), który jest pomiędzy tymi liczbami będzie ułamek \(\frac{7}{10}\), co zakończyłoby nasze dowodzenie.
Ewentualnie, dobrym pomysłem byłoby też rozszerzenie wszystkich ułamków w taki sposób, by w mianowniku ułamków znalazł się mianownik równy \(30\). Dlaczego \(30\)? Ponieważ jest to NWW liczb \(3\), \(5\) oraz \(10\). Zatem:
$$\frac{2}{3}=\frac{20}{30} \ ,\
\frac{4}{5}=\frac{24}{30}$$
Istnieje tylko jeden ułamek zwykły, który jest większy od \(\frac{20}{30}\) i mniejszy od \(\frac{24}{30}\), który jest jednocześnie skracalny do ułamka o mianowniku \(10\) i tym ułamkiem jest \(\frac{21}{30}\), który skróci się do postaci \(\frac{7}{10}\).
Zadanie nr 1 · Próbny 2020
Roksana poprawnie obliczyła wartość wyrażenia \(\frac{10+5}{\frac{1}{5}+\frac{1}{10}}\). Jaki wynik otrzymała?
A\(1\)
B\(4\frac{1}{2}\)
C\(50\)
D\(\frac{225}{2}\)
Nasze zadanie polega tak naprawdę na obliczeniu wartości podanego wyrażenia. Pamiętając o tym, że kreska ułamkowa jest formą dzielenia, całość możemy rozpisać w następujący sposób:
$$\frac{10+5}{\frac{1}{5}+\frac{1}{10}}=\frac{15}{\frac{2}{10}+\frac{1}{10}}=\frac{15}{\frac{3}{10}}=15:\frac{3}{10}=15\cdot\frac{10}{3}=\frac{150}{3}=50$$
Zadanie nr 2 · Egz. 8-kl. 2020
Wartość wyrażenia \(\frac{5}{7}-\frac{2}{7}\cdot\left(-\frac{3}{2}\right)\) jest równa:
A\(-\frac{15}{14}\)
B\(-\frac{9}{14}\)
C\(\frac{2}{7}\)
D\(\frac{8}{7}\)
Pamiętając o kolejności wykonywania działań (najpierw mnożenie!) możemy zapisać, że:
$$\frac{5}{7}-\frac{2}{7}\cdot\left(-\frac{3}{2}\right)=\frac{5}{7}-\left(-\frac{6}{14}\right)= \ ,\
=\frac{5}{7}+\frac{6}{14}=\frac{5}{7}+\frac{3}{7}=\frac{8}{7}$$
Zadanie nr 2 · Próbny 2020
Sześcian połowy liczby \(3\frac{4}{5}-0,6:\frac{1}{8}\) wynosi:
A\(-\frac{1}{8}\)
B\(-\frac{1}{2}\)
C\(-1\)
D\(-1\frac{1}{2}\)
Krok 1. Obliczenie wartości początkowej liczby.
Obliczmy najpierw wartość podanej liczby (pamiętając o kolejności wykonywania działań - czyli najpierw mnożenie):
$$3\frac{4}{5}-0,6:\frac{1}{8}=\frac{19}{5}-\frac{3}{5}\cdot8=\frac{19}{5}-\frac{24}{5}=-\frac{5}{5}=-1$$
Krok 2. Obliczenie sześcianu połowy liczby.
Otrzymaliśmy wartość \(-1\). Połowa tej liczby to w takim razie \(-\frac{1}{2}\). Musimy jeszcze obliczyć sześcian tej połowy, czyli:
$$\left(-\frac{1}{2}\right)^3=-\frac{1}{8}$$
Zadanie nr 3 · Próbny 2020
Wartość wyrażenia \(\frac{4}{3}\cdot3-2^3\) jest równa:
A\(-\frac{14}{3}\)
B\(-4\)
C\(-7\)
D\(-\frac{8}{3}\)
E\(-2\)
Wartość naszego wyrażenia będzie równa:
$$\frac{4}{3}\cdot3-2^3=\frac{12}{3}-8=4-8=-4$$
Zadanie nr 1 · Próbny 2019
Dominika obliczyła wartość wyrażenia: \(3-\frac{1}{2}:\frac{2}{5}\cdot0,5\) i otrzymała wynik \(2,375\). Jej koledzy: Antek, Bartek i Czarek, nie zgodzili się z jej odpowiedzią i postanowili wykonać to zadanie samodzielnie. Każdy z nich uzyskał inny wynik: Antek: \(0,5\); Bartek: \(3,125\); Czarek: \(12,5\).
Kto rozwiązał zadanie poprawnie?
AAntek
BBartek
CCzarek
DDominika
W tym zadaniu musimy pamiętać o kolejności wykonywania działań - najpierw wykonujemy mnożenie i dzielenie (w kolejności występowania, od lewej do prawej), a na koniec wykonamy odejmowanie, które znalazło się na samym początku. Dobrze jest też od razu zamienić sobie ostatnią liczbę \(0,5\) na ułamek zwykły, dzięki czemu będziemy mieć proste działania na ułamkach zwykłych. Pamiętaj też, że dzielenie możemy zastąpić mnożeniem przez odwrotność danej liczby. Całość rozpisując wszystko bardzo dokładnie będzie wyglądać następująco:
$$3-\frac{1}{2}:\frac{2}{5}\cdot0,5=3-\frac{1}{2}:\frac{2}{5}\cdot\frac{1}{2}=3-\frac{1}{2}\cdot\frac{5}{2}\cdot\frac{1}{2}= \ ,\
=3-\frac{5}{4}\cdot\frac{1}{2}=3-\frac{5}{8}=2\frac{3}{8}=2,375$$
To oznacza, że Dominika poprawnie rozwiązała zadanie.
Zadanie nr 1 · Próbny 2019
Jakim ułamkiem liczby \(3,5\) jest liczba \(5\)?
A\(\frac{1}{7}\)
B\(\frac{7}{5}\)
C\(\frac{7}{10}\)
D\(\frac{10}{7}\)
Aby odpowiedzieć sobie na to pytanie, musimy dowiedzieć się ile to jest \(\frac{5}{3,5}\). Zazwyczaj w podobnych zadaniach przeliczamy ten ułamek na procenty, ale tutaj wszystkie odpowiedzi mamy zapisane w postaci ułamków zwykłych, więc do nich musimy się teraz dostosować. W tym celu musimy wykonać operację rozszerzania ułamka i zapisać, że:
$$\frac{5}{3,5}=\frac{10}{7}$$
Zadanie nr 2 · Egz. 8-kl. 2019
Zosia zebrała \(2kg\) malin i wsypała je do trzech takich samych pojemników. Masa pustego pojemnika była równa \(0,05kg\). Pierwszy pojemnik z malinami miał masę \(\frac{3}{4}kg\), a masa drugiego pojemnika z malinami była równa \(0,70kg\). Ile malin wsypała Zosia do trzeciego pojemnika?
A\(0,45 kg\)
B\(0,55 kg\)
C\(0,60 kg\)
D\(0,65 kg\)
Krok 1. Ustalenie ile malin znajduje się w pierwszym pojemniku.
Pierwszy pojemnik z malinami waży \(\frac{3}{4}kg\), czyli \(0,75kg\). Wiemy też, że masa pustego pojemnika jest równa \(0,05kg\). Stąd też masa malin w pierwszym pojemniku jest równa:
$$0,75kg-0,05kg=0,70kg$$
Krok 2. Ustalenie ile malin znajduje się w drugim pojemniku.
Drugi pojemnik z malinami waży \(0,70kg\). Skoro pusty pojemnik waży \(0,05kg\), to masa malin w drugim pojemniku jest równa:
$$0,70kg-0,05kg=0,65kg$$
Krok 3. Ustalenie ile malin znajduje się w trzecim pojemniku.
Zosia zebrała \(2kg\) malin. Do pierwszego pojemnika wsypała \(0,70kg\) tych owoców, a do drugiego wsypała \(0,65kg\). To oznacza, że w trzecim pojemniku znalazło się:
$$2kg-0,70kg-0,65kg=0,65kg$$
Zadanie nr 4 · Próbny 2019
Dana jest liczba \(a=100\).
Uzupełnij zdania. Wybierz odpowiedzi spośród oznaczonych literami A i B oraz C i D.
Liczba \(2a\) jest \(\bbox[5px,border:1px solid]{A}\bigg/\bbox[5px,border:1px solid]{B}\) większa niż liczba \(a\). Liczba \(5a\) stanowi \(\bbox[5px,border:1px solid]{C}\bigg/\bbox[5px,border:1px solid]{D}\) liczby \(2a\).
Ao \(100\%\)
Bo \(200\%\)
C\(150\%\)
D\(250\%\)
Krok 1. Rozwiązanie pierwszej części zadania.
Liczba \(2a\) jest dwa razy większa od liczby \(a\), zatem jest od niej o \(100\%\) większa.
Krok 2. Rozwiązanie drugiej części zadania.
\(5a\) stanowi \(\frac{5a}{2a}=\frac{5}{2}\) liczby \(2a\). Zamieniając ułamek \(\frac{5}{2}\) na procenty otrzymamy wartość \(250\%\).
Zadanie nr 5 · Egz. 8-kl. 2019
Kacper zabrał na wycieczkę dwa razy mniej pieniędzy niż Wojtek. Kacper wydał połowę swoich pieniędzy, a Wojtek wydał \(\frac{1}{4}\) swoich.
Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe. Kacper wydał tyle samo pieniędzy, ile wydał Wojtek. Po wycieczce Kacprowi zostało trzy razy mniej pieniędzy niż Wojtkowi.
Kacper wydał tyle samo pieniędzy, ile wydał Wojtek.
Po wycieczce Kacprowi zostało trzy razy mniej pieniędzy niż Wojtkowi.
Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Załóżmy sobie, że Kacper zebrał \(x\) złotych, a skoro zebrał dwa razy mniej od Wojtka, to Wojtek tym samym zebrał \(2x\) złotych.
Z treści zadania wynika, że Kacper wydał połowę swoich pieniędzy, czyli wydał:
$$\frac{1}{2}\cdot x=\frac{1}{2}x$$
Wojtek wydał \(\frac{1}{4}\) swoich pieniędzy, czyli Wojtek wydał:
$$\frac{1}{4}\cdot2x=\frac{1}{2}x$$
Chłopcy wydali więc identyczną kwotę, zatem zdanie jest jak najbardziej prawdziwe.
Jeśli mamy trudności z takimi matematycznymi zapisami, to możemy zweryfikować to zadanie na prawdziwych liczbach. Jeżeli założymy sobie, że Kacper ma np. \(100zł\) i że wydał z tego połowę, to wiemy że wydał \(\frac{1}{2}\cdot100zł=50zł\).
Wojtek ma dwa razy więcej pieniędzy, czyli tym samym byłoby to \(200zł\). Skoro Wojtek miał wydać \(\frac{1}{4}\) swoich oszczędności, to znaczy że wydał \(\frac{1}{4}\cdot200zł=50zł\). W ten sposób bardzo obrazowo udało nam się ustalić, że chłopcy wydali identyczną kwotę.
Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Korzystając z tego co sobie już zapisaliśmy w pierwszym kroku możemy zapisać, że:
Kacper miał \(x\) złotych, wydał \(\frac{1}{2}x\) złotych, czyli zostało mu \(x-\frac{1}{2}x=\frac{1}{2}x\).
Wojtek miał \(2x\) złotych, wydał \(\frac{1}{2}x\) złotych, czyli zostało mu \(2x-\frac{1}{2}x=\frac{3}{2}x\).
Widzimy wyraźnie, że Kacprowi zostało faktycznie trzy razy mniej pieniędzy niż Wojtkowi, czyli zdanie jest prawdą.
I tu ponownie moglibyśmy to zrobić to zadanie w obrazowy sposób, na konkretnych kwotach. Korzystając z tego co zapisaliśmy sobie w pierwszym kroku:
Kacper miał \(100zł\), wydał \(50zł\), czyli zostało mu \(50zł\).
Wojtek miał \(200zł\), wydał \(50zł\), czyli zostało mu \(150zł\).
W ten sposób doszlibyśmy do wniosku, że Kacprowi zostało faktycznie trzy razy mniej pieniędzy, czyli zdanie było prawdą.
Zadanie nr 5 · Próbny 2019
W tabeli podano trzy wyrażenia.
Które wyrażenia z tabeli mają wartość ujemną?
AI i II
Btylko II
CII i III
Dtylko III
Sprawdźmy wartości każdego z podanych wyrażeń:
$$(-4)^3+(-10)^2=-64+100=36 \ ,\
(-54):9+7\cdot(-6)=-6+(-42)=-48 \ ,\
(-4)\cdot((-2)^3)^2=-4\cdot(-2)^6=-4\cdot64=-256$$
To oznacza, że II i III wyrażenie jest ujemne.
Zadanie nr 3 · Próbny 2018
Trzech kolegów zamówiło po jednej pizzy tej samej wielkości. Antek zjadł \(\frac{2}{3}\) pizzy, Bartek \(\frac{5}{8}\) pizzy, a Czarek \(\frac{3}{4}\) pizzy.
Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe. Antkowi zostało mniej pizzy niż Czarkowi. Antek, Bartek i Czarek zjedli razem więcej niż dwie całe pizze.
Antkowi zostało mniej pizzy niż Czarkowi.
Antek, Bartek i Czarek zjedli razem więcej niż dwie całe pizze.
Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Sprawdźmy ile pizzy zostało Antkowi i Czarkowi.
Antkowi zostało \(1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}\) pizzy.
Czarkowi zostało \(1-\frac{3}{4}=\frac{1}{4}\) pizzy.
Mniejszym ułamkiem jest \(\frac{1}{4}\), zatem mniej pizzy zostało Czarkowi. Zdanie jest więc nieprawdą.
Do zadania można było też podejść nieco inaczej. Wystarczyło sprawdzić kto zjadł więcej pizzy, co analogicznie oznaczałoby, że zostało mu mniej pizzy. Antek zjadł \(\frac{2}{3}=\frac{8}{12}\) pizzy, a Czarek zjadł \(\frac{3}{4}=\frac{9}{12}\) pizzy. Skoro więcej pizzy zjadł Czarek, to znaczy że mniej mu jej zostało.
Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Aby dowiedzieć się ile pizzy zjedli chłopcy musimy wykonać następujące działanie:
$$\frac{2}{3}+\frac{5}{8}+\frac{3}{4}=\frac{16}{24}+\frac{15}{24}+\frac{18}{24}=\frac{49}{24}=2\frac{1}{24}$$
Z obliczeń wyszło, że chłopcy zjedli wspólnie więcej niż dwie całe pizze, zatem zdanie jest prawdą.
Zadanie nr 3 · Egz. 8-kl. 2017
Dane są cztery wyrażenia:
I. \(\frac{3}{4}\cdot(-3)\)
II. \(\frac{3}{4}:(-3)\)
III. \(\frac{3}{4}+(-3)\)
IV. \(-\frac{3}{4}-3\)
Największą wartość ma wyrażenie:
AI
BII
CIII
DIV
Obliczając wartość każdego z wyrażeń bez problemu określimy która z liczb jest największa.
$$\frac{3}{4}\cdot(-3)=-2,25 \ ,\
\frac{3}{4}:(-3)=\frac{3}{4}\cdot\left(-\frac{1}{3}\right)=-0,25 \ ,\
\frac{3}{4}+(-3)=\frac{3}{4}-3=-2,25 \ ,\
-\frac{3}{4}-3=-3,75$$
Widzimy wyraźnie, że największa jest druga liczba.
Zadanie nr 9 · Egz. 8-kl. 2017
Dane są dwie liczby \(x\) i \(y\). Wiadomo, że \(x\ge8\) oraz \(y\le-2\). Najmniejsza możliwa wartość różnicy \(x-y\) jest równa:
A\(10\)
B\(6\)
C\(-6\)
D\(-10\)
Krok 1. Ustalenie kiedy wartość różnicy \(x-y\) będzie najmniejsza.
Aby różnica była jak najmniejsza, to te nasze dwie liczby muszą być jak najbliżej siebie na osi liczbowej. Stanie się tak wtedy, kiedy \(x\) będzie jak najmniejszy, czyli kiedy \(x=8\) oraz kiedy \(y\) będzie jak największy, czyli kiedy \(y=-2\).
Krok 2. Obliczenie minimalnej różnicy.
Najmniejsza różnica będzie zatem równa: \(8-(-2)=10\).
Zadanie nr 7 · Egz. 8-kl. 2016
Dane są liczby \(a\) i \(b\) takie, że \(2\lt a\lt3\) oraz \(-1\lt b\lt1\).
Oceń prawdziwość podanych zdań. Iloraz \(\frac{b}{a}\) jest zawsze dodatni. Różnica \(b-a\) jest zawsze dodatnia.
Iloraz \(\frac{b}{a}\) jest zawsze dodatni.
Różnica \(b-a\) jest zawsze dodatnia.
Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Z informacji wynika, że pierwsza liczba jest na pewno dodatnia. Druga liczba może być dodatnia lub ujemna (tego nie wiemy). W związku z tym pierwsze zdanie jest fałszem, bo nie mamy pewności że iloraz \(\frac{b}{a}\) jest dodatni. Jeśli \(b\) jest ujemne, a może takie być, to ułamek ten będzie ujemny.
Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Drugie zdanie jest także fałszem, bo różnica \(b-a\) będzie zawsze ujemna. Przykładowo jak \(b=0\) oraz \(a=2,5\), to \(b-a=-2,5\).
Zadanie nr 8 · Egz. 8-kl. 2016
W klasie IIIa liczba dziewcząt stanowi \(\frac{2}{3}\) liczby wszystkich uczniów tej klasy. W klasie IIIa:
AJest więcej chłopców niż dziewcząt.
BLiczba dziewcząt stanowi \(\frac{2}{3}\) liczby chłopców.
CJest dwa razy więcej dziewcząt niż chłopców.
DStosunek liczby chłopców do liczby dziewcząt jest równy \(1:3\).
Oceńmy prawdziwość każdego ze zdań:
Odp. A. Jest więcej chłopców niż dziewcząt.
Komentarz: To nieprawda, bo skoro dziewczyny stanowią \(\frac{2}{3}\) klasy to znaczy że stanowią one większość.
Odp. B. Liczba dziewcząt stanowi \(\frac{2}{3}\) liczby chłopców.
Komentarz: To jest nieprawda, bowiem dziewczyny stanowią \(\frac{2}{3}\) całej klasy, a nie liczby chłopców, których jest \(\frac{1}{3}\), czyli dwukrotnie mniej.
Odp. C. Jest dwa razy więcej dziewcząt niż chłopców.
Komentarz: To prawda, bo skoro dziewczyn jest \(\frac{2}{3}\), to chłopców jest \(\frac{1}{3}\).
Odp. D. Stosunek liczby chłopców do liczby dziewcząt jest równy \(1:3\).
Komentarz: To nieprawda, chłopców jest dwukrotnie mniej, zatem stosunek liczby chłopców do liczby dziewczyn wynosi \(1:2\).
Zadanie nr 12 · Egz. 8-kl. 2015
Liczba \(x\) jest dodatnia, a liczba \(y\) jest ujemna. Ile spośród liczb: \(x\cdot y\), \(x-y\), \(\frac{x}{y}\), \((y-x)^2\) jest dodatnich?
AJedna
BDwie
CTrzy
DCztery
Przeanalizujmy każdą z liczb:
\(x\cdot y\) - mnożenie liczby dodatniej przez ujemną zawsze da liczbę ujemną.
\(x-y\) - mamy tutaj liczbę dodatnią odjąć liczbę ujemną, co możemy zamienić na dodawanie dwóch liczb dodatnich (np. \(2-(-3)=2+3\)). Wynik więc będzie na pewno dodatni.
\(\frac{x}{y}\) - dzielenie liczby dodatniej przez ujemną zawsze da liczbę ujemną.
\((y-x)^2\) - wartość w nawiasie jest na pewno ujemna (bo od ujemnej liczby odejmujemy dodatkowo liczbę dodatnią), a liczby ujemne podniesione do kwadratu dają liczby dodatnie.
To oznacza, że dwie z tych liczb są dodatnie.
Zadanie nr 4 · Egz. 8-kl. 2014
Liczbą większą od \(\frac{1}{3}\) jest:
A\(\frac{300}{900}\)
B\(\frac{300}{900-1}\)
C\(\frac{300}{900+1}\)
D\(\frac{300-1}{900}\)
Rozszerzając nasz ułamek z treści zadania otrzymamy:
$$\frac{1}{3}=\frac{300}{900}$$
Aby liczba była większa od naszego ułamka to musi mieć albo większy licznik, albo mniejszy mianownik. Żaden z ułamków nie ma licznika większego niż \(300\), za to ułamek z drugiej odpowiedzi ma mniejszy mianownik, co sprawia że to właśnie ten ułamek jest większy od \(\frac{1}{3}\).
Zadanie nr 8 · Egz. 8-kl. 2014
Rozwinięcie dziesiętne ułamka \(\frac{51}{370}\) jest równe \(0,1(378)\). Na pięćdziesiątym miejscu po przecinku tego rozwinięcia znajduje się cyfra:
A\(1\)
B\(3\)
C\(7\)
D\(8\)
Ułamek okresowy ma to do siebie, że liczba zawarta w nawiasie będzie się ciągle powtarzać:
$$0,1(378)=0,1378378378...$$
Widzimy wyraźnie, że w rozszerzeniu tej liczby co trzy miejsca (począwszy od drugiego miejsca) pojawia się cyfra \(3\), czyli piątą cyfrą jest \(3\), ósmą cyfrą jest \(3\), jedenastą cyfrą jest \(3\) i tak dojdziemy aż do pięćdziesiątego miejsca jakim także będzie \(3\).
Zadanie nr 5 · Egz. 8-kl. 2013
Ile spośród liczb: \(\frac{2}{3}, \frac{1}{2}, \frac{10}{25}, \frac{1}{4}\) spełnia warunek \(\frac{2}{5}\lt x\lt\frac{3}{5}\)?
AJedna liczba
BDwie liczby
CTrzy liczby
DCztery liczby
Aby wskazać które liczby spełniają ten warunek musimy albo wszystkie ułamki sprowadzić do wspólnego mianownika, albo zamienić te wszystkie ułamki na ułamki dziesiętne. Wygodniej będzie chyba wykonać zamianę na ułamki dziesiętne:
$$\frac{2}{3}\approx0,67 \ ,\
\frac{1}{2}=0,5 \ ,\
\frac{10}{25}=0,4 \ ,\
\frac{1}{4}=0,25$$
Oraz ułamki z naszego warunku:
$$\frac{2}{5}=0,4 \ ,\
\frac{3}{5}=0,6$$
Szukamy więc ułamków które są większe niż \(0,4\) i mniejsze niż \(0,6\). To oznacza, że tylko jeden ułamek spełnia warunki zadania i jest to ułamek \(\frac{1}{2}\).
Zadanie nr 2 · Egz. 8-kl.
Uzupełnij zdania. Wybierz odpowiedź spośród oznaczonych literami \(\bbox[5px,border:1px solid]{A}\) i \(\bbox[5px,border:1px solid]{B}\) oraz odpowiedź spośród oznaczonych literami \(\bbox[5px,border:1px solid]{C}\) i \(\bbox[5px,border:1px solid]{D}\).
Wartość wyrażenia \(4,5:0,75\) jest równa wartości wyrażenia \(\bbox[5px,border:1px solid]{A}\bigg/\bbox[5px,border:1px solid]{B}\). Wartość wyrażenia \(1,25\cdot0,4\) jest równa wartości wyrażenia \(\bbox[5px,border:1px solid]{C}\bigg/\bbox[5px,border:1px solid]{D}\).
A\(\frac{450}{75}\)
B\(\frac{45}{75}\)
C\(\frac{125\cdot4}{100}\)
D\(\frac{125\cdot4}{1000}\)
Krok 1. Rozwiązanie pierwszej części zadania.
$$4,5:0,75=\frac{4,5}{0,75}=\frac{4,5\cdot100}{0,75\cdot100}=\frac{450}{75}$$
Krok 2. Rozwiązanie drugiej części zadania.
$$1,25\cdot0,4=\frac{1,25\cdot100}{100}\cdot\frac{0,4\cdot10}{10}=\frac{125}{100}\cdot\frac{4}{10}=\frac{125\cdot4}{1000}$$
Zadanie nr 3 · Egz. 8-kl.
Do trzech jednakowych naczyń wlano tyle wody, że w pierwszym naczyniu woda zajmowała \(\frac{2}{3}\) pojemności, w drugim: \(\frac{3}{4}\) pojemności, a w trzecim \(\frac{5}{7}\) pojemności danego naczynia.
Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe. W naczyniu drugim było mniej wody niż w naczyniu trzecim. W pierwszym i drugim naczyniu łącznie było tyle samo wody, co w trzecim naczyniu.
W naczyniu drugim było mniej wody niż w naczyniu trzecim.
W pierwszym i drugim naczyniu łącznie było tyle samo wody, co w trzecim naczyniu.
Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Aby ocenić prawdziwość tego zdania musimy porównać do siebie dwa ułamki - \(\frac{3}{4}\) oraz \(\frac{5}{7}\). Sprowadzając te ułamki do wspólnego mianownika otrzymamy:
II naczynie: \(\frac{3}{4}=\frac{21}{28}\)
III naczynie: \(\frac{5}{7}=\frac{20}{28}\)
To oznacza, że w drugim naczyniu było więcej wody niż w trzecim, czyli zdanie jest fałszem.
Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
W pierwszym i drugim naczyniu mamy:
$$\frac{2}{3}+\frac{3}{4}=\frac{8}{12}+\frac{9}{12}=\frac{17}{12}=1\frac{5}{12}$$
W trzecim naczyniu mamy raptem \(\frac{5}{7}\) pojemności, czyli znacznie mniej niż w pierwszym i drugim naczyniu łącznie. Zdanie jest więc fałszem.
Zacznij dziś
Zacznij naukę już dziś — to nic nie kosztuje
Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.
