Rzut pionowy

Jak to rozwiązać — cechy rzutu w polu grawitacyjnym

Zdanie 1 — FAŁSZ. W próżni każde ciało spada/porusza się z tym samym przyśpieszeniem grawitacyjnym $g$, niezależnie od masy.

Zdanie 2 — PRAWDA. Im większa prędkość początkowa v₀, tym wyżej wzniesie się ciało i tym dłużej trwa ruch — czas zależy od v₀.

✔ Zgodne z kluczem: 1 — F, 2 — P.

Jak to rozwiązać — prędkość w chwili wyrzutu

Krok 1. Ciało osiąga wysokość maksymalną w punkcie W, czyli w chwili $t_{AW}=0{,}8$ s; wtedy prędkość = 0. To ruch jednostajnie opóźniony z przyśpieszeniem $g$: $v_k = v_0 - g\,t_{AW}$, a $v_k=0$.

Krok 2. Stąd:

$v_0 = g\,t_{AW} = 9{,}81\ \tfrac{m}{s^2}\cdot 0{,}8\ s \approx \mathbf{7{,}85\ \tfrac{m}{s}}$

✔ Zgodne z kluczem: v₀ ≈ 7,85 m/s.

Jak to rozwiązać — z wysokości maksymalnej i przyrostu wysokości

Krok 1. Wysokość maksymalna. Od wierzchołka W do podłoża B ciało spada swobodnie przez $t_{WB}=1{,}8-0{,}8=1{,}0$ s:

$h_{max}=\tfrac{1}{2}g\,t_{WB}^2=\tfrac{1}{2}\cdot9{,}81\cdot1^2 = 4{,}905\ m$

Krok 2. Przyrost wysokości A→W (z symetrii = spadek W→A przez 0,8 s):

$\Delta h_{AW}=\tfrac{1}{2}g\,t_{AW}^2=\tfrac{1}{2}\cdot9{,}81\cdot0{,}8^2 = 3{,}14\ m$

Krok 3. Wysokość początkowa:

$h_0=h_{max}-\Delta h_{AW}=4{,}905-3{,}14 \approx \mathbf{1{,}8\ m}$

✔ Zgodne z kluczem: h₀ ≈ 1,8 m.

Aby obliczyć wartość prędkości początkowej kulki K_B, musimy najpierw wyznaczyć współrzędną $y_C$ punktu zderzenia oraz czas zderzenia $t_z$, korzystając z równań ruchu obu kulek.

1. Krok 1: Równania ruchu kulki K_A (rzut poziomy z punktu A)

   Kulka K_A startuje z punktu $A = (0;\ 12)$ z prędkością poziomą $v_{0A} = 8\ \text{m/s}$. Przyjmujemy oś $y$ skierowaną ku górze, $g = 10\ \text{m/s}^2$.

   Równania ruchu:

   $$x_A(t) = v_{0A} \cdot t = 8t$$ $$y_A(t) = 12 - \frac{1}{2}g t^2 = 12 - 5t^2$$
2. Krok 2: Wyznaczenie czasu zderzenia $t_z$ na podstawie współrzędnej $x$ punktu C

   Punkt zderzenia to $C = (6;\ y_C)$. Kulka K_A musi znaleźć się w chwili $t_z$ w punkcie o $x = 6\ \text{m}$:

   $$x_A(t_z) = 8 t_z = 6$$ $$t_z = \frac{6}{8} = 0{,}75\ \text{s}$$
3. Krok 3: Wyznaczenie współrzędnej $y_C$ punktu zderzenia

   Podstawiamy $t_z = 0{,}75\ \text{s}$ do równania $y_A(t)$:

   $$y_C = y_A(t_z) = 12 - 5 \cdot (0{,}75)^2 = 12 - 5 \cdot 0{,}5625 = 12 - 2{,}8125 \approx 9{,}19\ \text{m}$$
4. Krok 4: Równania ruchu kulki K_B (rzut pionowy w górę z punktu B)

   Kulka K_B startuje z punktu $B = (6;\ 0)$ z prędkością pionową w górę $v_{0B}$. Ponieważ ruch jest wyłącznie pionowy, współrzędna $x$ nie zmienia się — kulka zawsze ma $x = 6\ \text{m}$, co jest zgodne z $x_C = 6\ \text{m}$. Równanie ruchu po osi $y$:

   $$y_B(t) = v_{0B} \cdot t - \frac{1}{2}g t^2$$
5. Krok 5: Obliczenie $v_{0B}$ z warunku zderzenia

   W chwili $t_z = 0{,}75\ \text{s}$ kulka K_B musi znajdować się w punkcie $C$, czyli $y_B(t_z) = y_C$:

   $$v_{0B} \cdot t_z - \frac{1}{2}g t_z^2 = y_C$$ $$v_{0B} \cdot 0{,}75 - 5 \cdot (0{,}75)^2 = 12 - 5 \cdot (0{,}75)^2$$

   Zauważamy, że wyrazy $-5 \cdot (0{,}75)^2$ po obu stronach się skracają:

   $$v_{0B} \cdot 0{,}75 = 12$$ $$v_{0B} = \frac{12}{0{,}75} = 16\ \text{m/s}$$

Wynik końcowy:

$$\boxed{v_{0B} = 16\ \text{m/s}}$$

Wartość prędkości początkowej kulki K_B wynosi $v_{0B} = 16\ \text{m/s}$.

Uwaga interpretacyjna: Elegancką obserwacją jest to, że oba człony $-\tfrac{1}{2}g t_z^2$ w równaniach $y_A(t_z)$ i $y_B(t_z)$ są identyczne i się skracają. Wynika stąd prosta zależność: $v_{0B} \cdot t_z = y_A(0) = 12\ \text{m}$, co oznacza, że kulka K_B musiałaby przy jednostajnym ruchu (bez grawitacji) w czasie $t_z$ pokonać dokładnie różnicę wysokości między punktami $A$ i $B$, równą $12\ \text{m}$.