Moment pędu i jego zachowanie

Jak to rozwiązać — zasada zachowania momentu pędu

Krok 1. W peryhelium (P) i aphelium (A) prędkość jest prostopadła do promienia wodzącego, więc moment pędu to po prostu $L=m\,v\,r$. Z zasady zachowania momentu pędu:

$v_A\,r_A = v_P\,r_P$

Krok 2. Odległość w aphelium:

$r_A=|PA|-r_P=5{,}62-0{,}81=4{,}81\ \text{au}$

Krok 3. Prędkość:

$v_A=\dfrac{r_P}{r_A}\,v_P=\dfrac{0{,}81}{4{,}81}\cdot 43{,}29\ \tfrac{km}{s}\approx \mathbf{7{,}3\ \tfrac{km}{s}}$

✔ Zgodne z kluczem: v_A ≈ 7,3 km/s.

Rozwiązanie zadania 5.2

Analiza problemu

Chiron porusza się po orbicie eliptycznej wokół Słońca. Punkt P (peryhelium) to położenie najbliższe Słońcu, a punkt A (aphelium) to położenie najdalsze od Słońca. Z kontekstu zadania (poprzednie podpunkty) znane są odległości: $r_P = 8{,}5 \text{ AU}$ (odległość w peryhelium) oraz $r_A = 18{,}9 \text{ AU}$ (odległość w aphelium).

1. Wybór zasady zachowania

   Siła grawitacji działająca na Chirona jest siłą centralną — zawsze skierowana ku Słońcu (przez środek układu). Moment siły centralnej względem środka (Słońca) wynosi zero:

   $$\vec{M} = \vec{r} \times \vec{F} = \vec{0}$$

   Z drugiej zasady dynamiki dla ruchu obrotowego wynika, że moment pędu nie zmienia się w czasie:

   $$\frac{d\vec{L}}{dt} = \vec{M} = \vec{0} \implies \vec{L} = \text{const}$$

   W ruchu po orbicie eliptycznej zachowany jest moment pędu (nie pęd, bo siła grawitacji jest niezerowa; nie energia kinetyczna, bo prędkość zmienia się na orbicie).

2. Zastosowanie zasady zachowania momentu pędu

   W punkcie P (peryhelium) i w punkcie A (aphelium) wektor prędkości jest prostopadły do wektora położenia (prostopadły do promienia wodzącego), więc:

   $$L_P = m \cdot v_P \cdot r_P$$ $$L_A = m \cdot v_A \cdot r_A$$

   Z zasady zachowania momentu pędu $L_P = L_A$:

   $$m \cdot v_P \cdot r_P = m \cdot v_A \cdot r_A$$

3. Wyznaczenie związku między $v_P$ a $v_A$

   Po uproszczeniu masy $m$:

   $$v_P \cdot r_P = v_A \cdot r_A$$ $$v_P = \frac{r_A}{r_P} \cdot v_A = \frac{18{,}9}{8{,}5} \cdot v_A$$

4. Ocena pozostałych odpowiedzi

   • Odpowiedź B ($v_P = v_A$) — błędna, ponieważ prędkość liniowa na orbicie eliptycznej zmienia się: jest największa w peryhelium i najmniejsza w aphelium (II prawo Keplera). Energia kinetyczna nie jest zachowana — zmienia się kosztem energii potencjalnej.
   • Odpowiedź C — błędna, ponieważ zawiera odwróconą proporcję ($\frac{8{,}5}{18{,}9}$), co dawałoby $v_P < v_A$. Przeczyłoby to faktowi, że w peryhelium (bliżej Słońca) ciało porusza się szybciej niż w aphelium.
   • Uzasadnienie 1. (pęd) — błędne, ponieważ pęd $\vec{p} = m\vec{v}$ nie jest zachowany — na Chirona działa niezerowa siła grawitacji.
   • Uzasadnienie 3. (energia kinetyczna) — błędne, ponieważ energia kinetyczna zmienia się wraz z prędkością na orbicie.

Wynik końcowy

Poprawna odpowiedź: A i 2.

ponieważ w ruchu Chirona wokół Słońca nie zmienia się jego moment pędu (siła grawitacji jest siłą centralną, więc jej moment względem Słońca jest równy zero).

Jak to rozwiązać — zasada zachowania momentu pędu

W peryhelium i aphelium prędkość jest prostopadła do promienia, więc $v_P\,r_P=v_A\,r_A$:

$\dfrac{v_P}{v_A}=\dfrac{r_A}{r_P}=\dfrac{1820}{120}\approx \mathbf{15{,}2}$

Odpowiedź: C.

✔ Zgodne z kluczem: C.

Rozwiązanie

Z zachowania momentu pędu $I\omega=$const, $I=kMR_t^2$: $R_{obecne}^2 f_{obecne}=R_{dawne}^2 f_{dawne}$, gdzie $R_{dawne}=10R_{obecne}$.

$f_{dawne}=f_{obecne}\dfrac{R_{obecne}^2}{(10R_{obecne})^2}=\dfrac{160}{100}=1{,}6$ Hz (obrotów na sekundę).

Rozwiązanie

Aby po upadku w punkcie C obręcz potoczyła się z powrotem w prawo (ku gimnastyczce), musi wirować zgodnie z ruchem wskazówek zegara (górny punkt obręczy przemieszcza się w prawo). Ponieważ przy pominięciu oporu powietrza moment pędu jest zachowany, ten sam kierunek obrotu obręcz ma już w położeniu B.

Odpowiedź: strzałka obrotu skierowana zgodnie z ruchem wskazówek zegara (↻).

Rozwiązanie

W locie na obręcz nie działa (przy pominięciu oporu powietrza) żaden moment siły względem jej środka masy, więc jej prędkość kątowa (ruch obrotowy) jest stała.

Odpowiedź: D

Rozwiązanie

Stabilność wirującej obręczy wynika z zasady zachowania momentu pędu (efekt żyroskopowy) — wektor momentu pędu utrzymuje swój kierunek, przeciwdziałając przewróceniu.

Odpowiedź: zasada zachowania momentu pędu.