📄 Treść zadania
Równanie \(\frac{x^2+2x}{x^2-4}=0\)
A
ma trzy rozwiązania: \(x=-2, x=0, x=2\)
B
ma dwa rozwiązania: \(x=0, x=-2\)
C
ma dwa rozwiązania: \(x=-2, x=2\)
D
ma jedno rozwiązanie: \(x=0\)
Krok 1. Zapisanie założeń do zadania.
Z racji tego, iż w matematyce nie istnieje dzielenie przez zero, to wartość znajdująca się w mianowniku musi być różna od zera. Sprawdźmy zatem kiedy mianownik będzie równy zero, rozwiązując następujące równanie:
$$x^2-4=0$$
$$x^2=4$$
$$x=2 \quad\lor\quad x=-2$$
To oznacza, że do naszego równania musimy wprowadzić założenie, że \(x\neq2\) oraz \(x\neq-2\).
Krok 2. Rozwiązanie równania.
Musimy teraz rozwiązać równanie z treści zadania, a najlepiej będzie zacząć od pozbycia się mianownika:
$$\frac{x^2+2x}{x^2-4}=0 \quad\bigg/\cdot(x^2-4)$$
$$x^2+2x=0$$
$$x(x+2)=0$$
$$x=0 \quad\lor\quad x+2=0$$
$$x=0 \quad\lor\quad x=-2$$
Krok 3. Interpretacja otrzymanego wyniku.
Otrzymaliśmy dwa rozwiązania naszego równania, ale jedno z tych rozwiązań (a konkretnie \(x=-2\)) wyklucza się z naszymi założeniami z pierwszego kroku. To oznacza, że całe równanie ma tylko jedno dobre rozwiązanie i jest to \(x=0\).