📄 Treść zadania
Trzecim wyrazem ciągu geometrycznego jest liczba \(3\), a szóstym jest liczba \(-24\). Suma czterech początkowych wyrazów tego ciągu wynosi:
A
\(11\frac{1}{4}\)
B
\(3\frac{3}{4}\)
C
\(-3\frac{3}{4}\)
D
\(-11\frac{1}{4}\)
Krok 1. Obliczenie ilorazu ciągu geometrycznego.
Do zadania można podejść na kilka sposobów, ale najprościej będzie skorzystać z własności ciągów geometrycznych. Powinniśmy dostrzec, że \(a_{3}\cdot q\cdot q\cdot q=a_{6}\), czyli że \(a_{3}\cdot q^3=a_{6}\). Podstawiając teraz informacje z treści zadania, otrzymamy:
$$a_{3}\cdot q^3=a_{6}$$
$$3\cdot q^3=-24$$
$$q^3=-8$$
$$q=-2$$
Krok 2. Obliczenie wartości pierwszego wyrazu.
Znając wartość trzeciego wyrazu oraz iloraz ciągu możemy obliczyć wartość pierwszego wyrazu.
$$a_{3}=a_{1}\cdot q^2$$
$$3=a_{1}\cdot(-2)^2$$
$$3=a_{1}\cdot4$$
$$a_{1}=\frac{3}{4}$$
Krok 3. Obliczenie sumy czterech pierwszych wyrazów.
Kiedy znamy już wartość pierwszego wyrazu i ilorazu ciągu, możemy bez problemu obliczyć sumę czterech pierwszych wyrazów ciągu, korzystając z następującego wzoru na sumę \(n\) początkowych wyrazów:
$$S_{n}=a_{1}\cdot\frac{1-q^n}{1-q}$$
$$S_{4}=\frac{3}{4}\cdot\frac{1-(-2)^{4}}{1-(-2)}$$
$$S_{4}=\frac{3}{4}\cdot\frac{1-16}{3}$$
$$S_{4}=\frac{3}{4}\cdot\frac{-15}{3}$$
$$S_{4}=\frac{3}{4}\cdot(-5)$$
$$S_{4}=\frac{-15}{4}=-3\frac{3}{4}$$