Zadanie 11 Matura – Matematyka (Poziom rozszerzony) 2007 – arkusz z rozwiązaniami

Wzór na wyraz ogólny. Dla \(n\ge2\):

\(a_n=S_n-S_{n-1}=(2n^2+n)-\bigl(2(n-1)^2+(n-1)\bigr)=2n^2+n-(2n^2-3n+1)=4n-1\).

Wzór działa też dla \(n=1\), bo \(a_1=S_1=3=4\cdot1-1\). Ciąg jest arytmetyczny o różnicy \(r=4\).

a) Wyrazy o numerach parzystych to \(a_{2k}=8k-1\) dla \(k=1,2,\ldots,50\). Tworzą one ciąg arytmetyczny o pierwszym wyrazie \(a_2=7\), ostatnim \(a_{100}=399\) i różnicy \(8\), więc

\(a_2+a_4+\ldots+a_{100}=\dfrac{7+399}{2}\cdot50=203\cdot50=10150\).

b)

\(\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{2n^2+n}{3n^2-2}=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{2+\tfrac1n}{3-\tfrac{2}{n^2}}=\dfrac23\).