📄 Treść zadania
Jeżeli sinus kąta ostrego \(\alpha\) wynosi \(\frac{2\sqrt{3}}{5}\), to wartość tangensa kąta ostrego \(\alpha\) jest równa:
A
\(\frac{2\sqrt{39}}{13}\)
B
\(\frac{\sqrt{13}}{5}\)
C
\(\frac{\sqrt{39}}{6}\)
D
\(\frac{5\sqrt{13}}{13}\)
Krok 1. Obliczenie wartości cosinusa.
Korzystając z jedynki trygonometrycznej możemy zapisać, że:
$$sin^2α+cos^2α=1$$
$$\left(\frac{2\sqrt{3}}{5}\right)^2+cos^2α=1$$
$$\frac{4\cdot3}{25}+cos^2α=1$$
$$\frac{12}{25}+cos^2α=1$$
$$cos^2α=\frac{13}{25}$$
$$cosα=\sqrt{\frac{13}{25}} \quad\lor\quad cosα=-\sqrt{\frac{13}{25}}$$
Wartość ujemną odrzucamy, bo cosinus dla kątów ostrych przyjmuje wartości dodatnie, zatem zostaje nam \(cosα=\sqrt{\frac{13}{25}}\), co możemy jeszcze zapisać jako \(cosα=\frac{\sqrt{13}}{5}\) .
Krok 2. Obliczenie wartości tangensa.
Wiedząc, że \(tgα=\frac{sinα}{cosα}\) możemy zapisać, że:
$$tgα=\frac{\frac{2\sqrt{3}}{5}}{\frac{\sqrt{13}}{5}}$$
$$tgα=\frac{2\sqrt{3}}{5}:\frac{\sqrt{13}}{5}$$
$$tgα=\frac{2\sqrt{3}}{5}\cdot\frac{5}{\sqrt{13}}$$
$$tgα=\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{13}}$$
$$tgα=\frac{2\sqrt{3}\cdot\sqrt{13}}{\sqrt{13}\cdot\sqrt{13}}$$
$$tgα=\frac{2\sqrt{39}}{13}$$