📄 Treść zadania
Suma \(S_{n}=a_{1}+a_{2}+...+a_{n}\) początkowych \(n\) wyrazów pewnego ciągu arytmetycznego \((a_{n})\) jest określona wzorem \(S_{n}=n^2-2n\). Wyznacz wzór na \(n\)-ty wyraz tego ciągu.
Krok 1. Wyznaczenie wartości pierwszego wyrazu ciągu arytmetycznego.
O analizowanym ciągu wiemy tylko tyle, że jego wzór na sumę \(n\)-tych wyrazów przyjmuje postać \(S_{n}=n^2-2n\). Możemy ten wzór sprytnie wykorzystać do obliczenia wartości pierwszego wyrazu, bo przecież "suma jednego wyrazu" jest równa wartości \(a_{1}\), zatem podstawiając \(n=1\) otrzymamy:
$$a_{1}=S_{1}$$
$$a_{1}=n^2-2n$$
$$a_{1}=1^2-2\cdot1$$
$$a_{1}=1-2$$
$$a_{1}=-1$$
Krok 2. Wyznaczenie wartości drugiego wyrazu ciągu arytmetycznego.
Musimy poznać wartość dwóch kolejnych wyrazów, by móc wyliczyć różnicę tego ciągu, która przyda nam się do wyznaczenia wzoru ciągu. Tym razem do wzoru na sumę podstawimy \(n=2\), co w połączeniu ze znajomością wartości pierwszego wyrazu pozwoli nam wyznaczyć wartość drugiego wyrazu.
$$S_{2}=a_{1}+a_{2}$$
$$2^2-2\cdot2=-1+a_{2}$$
$$4-4=-1+a_{2}$$
$$0=-1+a_{2}$$
$$a_{2}=1$$
Krok 3. Obliczenie różnicy ciągu arytmetycznego.
Znając wartość dwóch kolejnych wyrazów obliczamy różnicę tego ciągu:
$$r=a_{2}-a_{1}$$
$$r=1-(-1)$$
$$r=2$$
Krok 4. Wyznaczenie wzoru na \(n\)-ty wyraz tego ciągu.
Skorzystamy tutaj ze wzoru ogólnego, do którego podstawimy wyliczone wcześniej dane \(a_{1}=-1\) oraz \(r=2\):
$$a_{n}=a_{1}+(n-1)r$$
$$a_{n}=-1+(n-1)\cdot2$$
$$a_{n}=-1+2n-2$$
$$a_{n}=2n-3$$