📄 Treść zadania
Wyznacz równanie okręgu o środku \(S=(4,-2)\) przechodzącego przez punkt \((0,0)\).
Krok 1. Zapisanie wzoru na równanie okręgu.
Równanie okręgu o promieniu \(r\) i środku \(S=(a;b)\) możemy zapisać jako:
$$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$
W treści zadania mamy podane współrzędne środka tego okręgu, więc możemy od razu te dane wstawić do naszego wzoru, otrzymując postać:
$$(x-4)^2+(y-(-2))^2=r^2$$
$$(x-4)^2+(y+2)^2=r^2$$
Krok 2. Wyznaczenie promienia okręgu.
Tak naprawdę powyższy wzór byłby kompletnym rozwiązaniem, gdybyśmy tylko znali długość promienia. Aby ją poznać musimy skorzystać ze współrzędnych punktu, przez który ten okrąg przechodzi. Z treści zadania wynika, że nasz okrąg przechodzi przez punkt \((0;0)\), zatem do wzoru z pierwszego kroku musimy podstawić \(x=0\) oraz \(y=0\):
$$(0-4)^2+(0+2)^2=r^2$$
$$(-4)^2+(2)^2=r^2$$
$$16+4=r^2$$
$$r^2=20$$
To oznacza, że poszukiwanym równaniem jest:
$$(x-4)^2+(y+2)^2=20$$