📄 Treść zadania
Wykaż, że trójkąt o wierzchołkach \(A=(3,8)\), \(B=(1,2)\), \(C=(6,7)\) jest prostokątny.
W tym zadaniu wykorzystamy wzór na długość odcinka w układzie współrzędnych:
$$|AB|=\sqrt{(x_{B}-x_{A})^2+(y_{B}-y_{A})^2}$$
W ten sposób obliczymy długości trzech odcinków: \(AB\), \(AC\) oraz \(BC\), a następnie za pomocą Twierdzenia Pitagorasa sprawdzimy, czy rzeczywiście będzie to trójkąt prostokątny.
Krok 1. Obliczenie długości boków \(AB\), \(AC\) oraz \(BC\).
$$|AB|=\sqrt{(x_{B}-x_{A})^2+(y_{B}-y_{A})^2}$$
$$|AB|=\sqrt{(1-3)^2+(2-8)^2}$$
$$|AB|=\sqrt{(-2)^2+(-6)^2}$$
$$|AB|=\sqrt{4+36}$$
$$|AB|=\sqrt{40}$$
$$|AC|=\sqrt{(x_{C}-x_{A})^2+(y_{C}-y_{A})^2}$$
$$|AC|=\sqrt{(6-3)^2+(7-8)^2}$$
$$|AC|=\sqrt{3^2+(-1)^2}$$
$$|AC|=\sqrt{9+1}$$
$$|AC|=\sqrt{10}$$
$$|BC|=\sqrt{(x_{C}-x_{B})^2+(y_{C}-y_{B})^2}$$
$$|BC|=\sqrt{(6-1)^2+(7-2)^2}$$
$$|BC|=\sqrt{5^2+5^2}$$
$$|BC|=\sqrt{25+25}$$
$$|BC|=\sqrt{50}$$
Krok 2. Sprawdzenie, czy trójkąt \(ABC\) jest prostokątny.
Jeśli trójkąt jest prostokątny to długości jego boków spełniają równanie wynikające z Twierdzenia Pitagorasa, zatem:
$$|AB|^2+|AC|^2=|BC|^2$$
$$(\sqrt{40})^2+(\sqrt{10})^2=(\sqrt{50})^2$$
$$40+10=50$$
$$50=50$$
$$L=P$$
Skoro lewa i prawa strona równania są sobie równe, to znaczy że długości boków spełniają Twierdzenie Pitagorasa, zatem trójkąt \(ABC\) jest prostokątny.