Przechodź „krok po kroku” do szukanego kąta, zapisując każde przejście.
Sprawdź sumę kątów w figurze (dla czworokąta $360^\circ$).
⚠️ Najczęstsze pułapki
Źle
Dobrze
Dlaczego
✗ suma kątów czworokąta $=180^\circ$
✓ $360^\circ$
to dwa trójkąty
✗ kąty przy ramieniu trapezu są równe
✓ sumują się do $180^\circ$
równe są w trapezie równoramiennym przy podstawie
✗ trójkąt równoramienny ma kąt $60^\circ$
✓ to trójkąt równoboczny
równoramienny ma dwa równe kąty
✗ zgadywanie z rysunku
✓ rysunek bywa nie w skali
licz, nie mierz
✍️ Przykład wzorcowy typ zadania 18 z egzaminu 2025
W trapezie $ABCD$ kąt $ABC$ ma miarę $48^\circ$. Odcinek $EC$ dzieli trapez na równoległobok $AECD$ i trójkąt $EBC$, w którym kąt $BCE$ ma miarę $57^\circ$. Oblicz miary kątów $DAB$, $BCD$ i $CDA$.
W trapezie kąty przy ramieniu $BC$ sumują się do $180^\circ$: $|\angle BCD|=180^\circ-48^\circ=132^\circ$.
$|\angle ECD|=132^\circ-57^\circ=75^\circ$, a w równoległoboku $AECD$ kąt $DAE$ jest przeciwległy, więc $|\angle DAB|=75^\circ$.
Kąty przy ramieniu $AD$: $|\angle CDA|=180^\circ-75^\circ=105^\circ$.
2 pkt — obliczenie wszystkich trzech kątów z uzasadnieniem.
📊 Ślad w prawdziwych arkuszach CKE
Zadania autentyczne. Niżej są prawdziwe zadania z arkuszy CKE — numer i punktacja zgodne z oryginalnym arkuszem. Kliknij rok, aby otworzyć cały arkusz.
Zadania autorskie. To nie są przedruki z arkuszy — ułożyliśmy je w formacie maturalnym, na wzorów z tabeli „Ślad w arkuszach CKE” powyżej. Typ, punktacja i poziom trudności odpowiadają realnym zadaniom egzaminacyjnym.
Zadania zamknięte sprawdzają się po kliknięciu odpowiedzi (jedna próba). W otwartych porównaj swoje rozwiązanie z wzorcowym i wystaw samoocenę według schematu punktowania — wynik zapisze się na koncie.
W trójkącie $ABC$ kąt $BCA$ ma miarę $35^\circ$, a kąt $ABC$ — $80^\circ$. Punkt $D$ leży na boku $BC$, a odcinek $AD$ dzieli kąt $BAC$ na połowy. Oblicz miarę kąta $ADB$.
W trójkącie $ABC$ poprowadzono wysokości $CD$ i $AE$, które przecinają się w punkcie $P$. Kąt $ABC$ ma miarę $52^\circ$. Oblicz miarę kąta ostrego między tymi wysokościami.
W czworokącie $BDPE$ kąty przy $D$ i $E$ są proste (wysokości).
W czworokącie $ABCD$ boki $AB$, $CD$ i $DA$ mają równe długości, a kąt $BCD$ ma miarę $131^\circ$. Przekątna $AC$ dzieli czworokąt na trójkąt równoboczny $ACD$ i trójkąt równoramienny $ABC$. Oblicz miarę kąta $ABC$.
Trójkąt $ACD$ jest równoboczny, więc $|\angle ACD|=60^\circ$ oraz $|AC|=|AD|=|CD|$.
Kąt $BCD$ dzieli się na dwie części: $|\angle ACB|=131^\circ-60^\circ=71^\circ$.
Z treści $|AB|=|DA|$, a $|DA|=|AC|$, więc $|AB|=|AC|$ — trójkąt $ABC$ jest równoramienny o ramionach $AB$ i $AC$.
W trójkącie równoramiennym kąty leżące naprzeciw równych boków są równe, więc $|\angle ABC|=|\angle ACB|=71^\circ$.
Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.
