Trapez: $P=\dfrac{(a+b)\cdot h}{2}$, gdzie $a$, $b$ to podstawy.
Pole figury złożonej: suma pól części albo pole całości minus pola wycięte.
Jednostki pola: $1\ \text{m}^2=100\ \text{dm}^2=10\,000\ \text{cm}^2$.
∑ Najważniejsze wzory
$P_{\text{trójkąta}}=\dfrac{ah}{2}$
$P_{\text{trapezu}}=\dfrac{(a+b)h}{2}$
$P_{\text{rombu}}=\dfrac{ef}{2}$
$P_{\text{równoległoboku}}=ah$
$\text{Obw}_{\text{prostokąta}}=2(a+b)$
⚙️ Algorytm krok po kroku
Narysuj lub odczytaj figurę i zaznacz dane.
Zdecyduj: dzielimy na części czy odejmujemy od większej figury?
Zapisz wzory na pola poszczególnych części.
Wykonaj obliczenia i zsumuj (albo odejmij) pola.
Podaj wynik z jednostką — pole w $\text{cm}^2$, obwód w cm.
⚠️ Najczęstsze pułapki
Źle
Dobrze
Dlaczego
✗ $P=\tfrac{ah}{2}$ z dowolną wysokością
✓ wysokość do tego samego boku
para bok–wysokość
✗ pole trapezu bez dzielenia przez $2$
✓ $\tfrac{(a+b)h}{2}$
to średnia podstaw razy wysokość
✗ $1\ \text{m}^2=100\ \text{cm}^2$
✓ $10\,000\ \text{cm}^2$
skala pola to kwadrat skali długości
✗ obwód liczony z pola
✓ to różne wielkości
równe pola nie oznaczają równych obwodów
✍️ Przykład wzorcowy typ zadania 20 z egzaminu 2025
Dany jest kwadrat $ABCD$ o boku $15$ cm. Boki $AB$ i $CD$ podzielono na trzy równe części, a boki $AD$ i $BC$ — na pięć równych części. Punkt $E$ leży na boku $BC$ w odległości $6$ cm od $B$, a punkt $F$ na boku $CD$ w odległości $5$ cm od $C$. Oblicz pole czworokąta $AECF$.
Pole kwadratu: $15\cdot15=225\ \text{cm}^2$.
Trójkąt $ABE$: $P=\dfrac{15\cdot6}{2}=45\ \text{cm}^2$ (przyprostokątne $AB=15$ i $BE=6$).
Trójkąt $ADF$: $|DF|=15-5=10$ cm, więc $P=\dfrac{15\cdot10}{2}=75\ \text{cm}^2$.
$P_{AECF}=225-45-75=105\ \text{cm}^2$.
Odpowiedź: $105\ \text{cm}^2$
Jak CKE przyznaje punkty:
1 pkt — poprawne odczytanie długości $BE$ i $DF$,
2 pkt — obliczenie pól obu trójkątów,
3 pkt — obliczenie pola czworokąta $105\ \text{cm}^2$.
📊 Ślad w prawdziwych arkuszach CKE
Zadania autentyczne. Niżej są prawdziwe zadania z arkuszy CKE — numer i punktacja zgodne z oryginalnym arkuszem. Kliknij rok, aby otworzyć cały arkusz.
Zadania autorskie. To nie są przedruki z arkuszy — ułożyliśmy je w formacie maturalnym, na wzorów z tabeli „Ślad w arkuszach CKE” powyżej. Typ, punktacja i poziom trudności odpowiadają realnym zadaniom egzaminacyjnym.
Zadania zamknięte sprawdzają się po kliknięciu odpowiedzi (jedna próba). W otwartych porównaj swoje rozwiązanie z wzorcowym i wystaw samoocenę według schematu punktowania — wynik zapisze się na koncie.
Czworokąt $ABCD$ ma pole $48\ \text{cm}^2$. Przekątna $AC$ o długości $8$ cm dzieli go na trójkąty $ABC$ i $ACD$. Wysokość trójkąta $ACD$ poprowadzona z $D$ do prostej $AC$ ma długość $2$ cm. Oblicz wysokość trójkąta $ABC$ poprowadzoną z $B$ do prostej $AC$.
Pole trójkąta $ACD$: $\dfrac{8\cdot2}{2}=8\ \text{cm}^2$.
Pole trójkąta $ABC$: $48-8=40\ \text{cm}^2$.
$\dfrac{8\cdot h}{2}=40 \Rightarrow 4h=40 \Rightarrow h=10$ cm.
Odpowiedź: $10$ cm
Schemat punktowania:
1 pkt — obliczenie pola trójkąta $ACD$,
2 pkt — obliczenie pola trójkąta $ABC$,
3 pkt — obliczenie wysokości $10$ cm.
✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś?/ 3 pkt
Kwadrat o boku $12$ cm i prostokąt o wymiarach $9$ cm i $16$ cm mają pewną wspólną cechę. Sprawdź rachunkiem, czy mają równe pola i czy mają równe obwody.
Pole kwadratu: $12^2=144\ \text{cm}^2$; pole prostokąta: $9\cdot16=144\ \text{cm}^2$ — pola są równe.
Obwód kwadratu: $4\cdot12=48$ cm; obwód prostokąta: $2(9+16)=50$ cm — obwody są różne.
Odpowiedź: pola równe ($144\ \text{cm}^2$), obwody różne ($48$ cm i $50$ cm)
Wskazówka: Równe pola nie oznaczają równych obwodów — to częsty temat zadań P/F.
Schemat punktowania:
1 pkt — obliczenie obu pól,
2 pkt — obliczenie obu obwodów,
3 pkt — sformułowanie wniosku.
✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś?/ 3 pkt
Prostokąt o wymiarach $10$ cm i $6$ cm podzielono na kwadrat o boku $6$ cm oraz prostokąt. Powstały prostokąt podzielono na kwadrat o boku $4$ cm i kolejny prostokąt. Oblicz pole ostatniego prostokąta i sprawdź, czy suma pól wszystkich trzech części jest równa polu prostokąta wyjściowego.
Pole prostokąta wyjściowego: $10\cdot6=60\ \text{cm}^2$.
Po odcięciu kwadratu o boku $6$ cm zostaje prostokąt $4\times6$ cm (pole $24\ \text{cm}^2$).
Po odcięciu z niego kwadratu o boku $4$ cm zostaje prostokąt $4\times2$ cm o polu $8\ \text{cm}^2$.
Suma pól: $36+16+8=60\ \text{cm}^2$ — tyle samo, co pole prostokąta wyjściowego. $\blacksquare$
Odpowiedź: $8\ \text{cm}^2$; suma pól wynosi $60\ \text{cm}^2$ — zgadza się
Schemat punktowania:
1 pkt — obliczenie pola prostokąta wyjściowego i pierwszego kwadratu,
2 pkt — wyznaczenie wymiarów kolejnych części,
3 pkt — obliczenie pola ostatniego prostokąta i sprawdzenie sumy pól.
✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś?/ 3 pkt
Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.
