Losowanie bez zwracania zmienia obie liczby: sprzyjających i wszystkich.
Zliczanie numerów od $a$ do $b$: jest ich $b-a+1$ (uwaga na „$+1$”).
W zadaniach z dokładaniem elementów zapisujemy równanie, np. $\dfrac{6+x}{14+x}=\dfrac{2}{3}$.
∑ Najważniejsze wzory
$P=\dfrac{|A|}{|\Omega|}$
$P(A^{\prime})=1-P(A)$
liczba liczb od $a$ do $b$: $b-a+1$
⚙️ Algorytm krok po kroku
Policz wszystkie możliwe wyniki.
Policz wyniki sprzyjające (uważnie zliczaj zakresy).
Zapisz iloraz i skróć ułamek.
Przy losowaniu bez zwracania zaktualizuj liczby po każdym losowaniu.
Sprawdź, czy wynik należy do przedziału od $0$ do $1$.
⚠️ Najczęstsze pułapki
Źle
Dobrze
Dlaczego
✗ zliczanie od $a$ do $b$ jako $b-a$
✓ $b-a+1$
obie końcówki się liczą
✗ po wyjęciu kul zmieniamy tylko licznik
✓ także mianownik
ubywa wszystkich elementów
✗ $P\gt 1$
✓ zawsze $P\le1$
sygnał błędu w zliczaniu
✗ „co szósty” = $6$ losów
✓ $\tfrac16$ wszystkich
to ułamek, nie liczba
✍️ Przykład wzorcowy typ zadania 10 z egzaminu 2025
Na loterię przygotowano $72$ losy ponumerowane od $1$ do $72$. Wygrywające są losy o numerach od $1$ do $9$ oraz od $46$ do $72$, pozostałe są puste. Oblicz prawdopodobieństwo wyciągnięcia losu pustego.
Losy wygrywające: od $1$ do $9$ to $9$ losów, od $46$ do $72$ to $72-46+1=27$ losów — razem $36$.
Losy puste: $72-36=36$.
$P=\dfrac{36}{72}=\dfrac12$.
Odpowiedź: $P=\dfrac12$
Jak CKE przyznaje punkty:
1 pkt — poprawne zliczenie losów wygrywających (w tym zakresu $46$–$72$),
2 pkt — obliczenie prawdopodobieństwa i skrócenie ułamka.
📊 Ślad w prawdziwych arkuszach CKE
Zadania autentyczne. Niżej są prawdziwe zadania z arkuszy CKE — numer i punktacja zgodne z oryginalnym arkuszem. Kliknij rok, aby otworzyć cały arkusz.
Zadania autorskie. To nie są przedruki z arkuszy — ułożyliśmy je w formacie maturalnym, na wzorów z tabeli „Ślad w arkuszach CKE” powyżej. Typ, punktacja i poziom trudności odpowiadają realnym zadaniom egzaminacyjnym.
Zadania zamknięte sprawdzają się po kliknięciu odpowiedzi (jedna próba). W otwartych porównaj swoje rozwiązanie z wzorcowym i wystaw samoocenę według schematu punktowania — wynik zapisze się na koncie.
W pudełku było $10$ kul czerwonych, $8$ niebieskich, $6$ zielonych i $8$ żółtych. Wyjęto (bez zwracania) dwie kule czerwone. Jakie jest prawdopodobieństwo, że trzecia wylosowana kula będzie czerwona?
A$\dfrac13$
B$\dfrac{5}{16}$
C$\dfrac{4}{15}$
D$\dfrac14$
Na początku kul było $32$, po wyjęciu dwóch zostało $30$.
Czerwonych zostało $10-2=8$.
$P=\dfrac{8}{30}=\dfrac{4}{15}$.
Odpowiedź:C
Dlaczego nie pozostałe? Po losowaniu bez zwracania zmieniają się obie liczby: czerwonych i wszystkich.
W pudełku jest $6$ kulek zielonych i $8$ niebieskich. Oblicz, ile kulek zielonych trzeba dołożyć, aby prawdopodobieństwo wylosowania kulki zielonej było równe $\dfrac23$.
Po dołożeniu $x$ kulek zielonych: $\dfrac{6+x}{14+x}=\dfrac23$.
$3(6+x)=2(14+x) \Rightarrow 18+3x=28+2x$.
$x=10$.
Odpowiedź: $10$ kulek
Schemat punktowania:
1 pkt — zapisanie równania,
2 pkt — rozwiązanie i odpowiedź $10$.
✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś?/ 2 pkt
Hania ma $4$ korale srebrne, $8$ czerwonych i kilka zielonych. Prawdopodobieństwo wylosowania korala zielonego jest równe $\dfrac13$. Oblicz, ile korali zielonych ma Hania.
Niech $z$ — liczba korali zielonych; wszystkich jest $12+z$.
$\dfrac{z}{12+z}=\dfrac13 \Rightarrow 3z=12+z$.
$2z=12 \Rightarrow z=6$.
Odpowiedź: $6$ korali
Schemat punktowania:
1 pkt — zapisanie równania z niewiadomą,
2 pkt — rozwiązanie równania i odpowiedź $6$.
✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś?/ 2 pkt
W pudełku jest $12$ kul: białe, czarne i zielone. Prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej wynosi $\dfrac13$, a czarnej $\dfrac14$. Oblicz, ile jest kul zielonych.
Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.
