PR38

Pole trojkata w ukladzie wspolrzednych — klucz maturalny, poziom rozszerzony

PriorytetBważny po opanowaniu filarów
Częstotliwość3/7arkuszy 2020–2026
Punkty w arkuszu2 pkt
Formy zadańotwarte i zamkniete (pole, odleglosc, srodek)
🔑 Sygnał: Pole liczysz ze wzoru wyznacznikowego lub jako $\tfrac12\cdot$podstawa$\cdot$wysokosc, gdy bok jest poziomy/pionowy.

🎯 Co musisz umieć

  • obliczac pole trojkata z wspolrzednych wierzcholkow,
  • liczyc dlugosc odcinka miedzy punktami,
  • wyznaczac srodek odcinka,
  • stosowac $P=\tfrac12\cdot a\cdot h$ dla bokow poziomych/pionowych.

🔍 Jak rozpoznać zadanie

  • bok rownolegly do osi - podstawa i wysokosc widoczne wprost,
  • 'dlugosc odcinka' - wzor $\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}$,
  • 'srodek odcinka' - srednia wspolrzednych.

📘 Teoria w pigułce

  • Pole trojkata o wierzcholkach $A,B,C$: $P=\tfrac12\big|x_A(y_B-y_C)+x_B(y_C-y_A)+x_C(y_A-y_B)\big|$.
  • Gdy jeden bok jest poziomy lub pionowy, wygodnie uzyc $P=\tfrac12\cdot a\cdot h$.
  • Dlugosc odcinka: $|AB|=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$; srodek: $\big(\tfrac{x_A+x_B}{2},\tfrac{y_A+y_B}{2}\big)$.

∑ Najważniejsze wzory

$P=\tfrac12|x_A(y_B-y_C)+x_B(y_C-y_A)+x_C(y_A-y_B)|$
$P=\tfrac12 a h$
$|AB|=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}$
srodek: $\big(\tfrac{x_A+x_B}{2},\tfrac{y_A+y_B}{2}\big)$
$|AB|$ dla $(0,0),(3,4)$ to $5$

⚙️ Algorytm krok po kroku

  1. Zaznacz wierzcholki i sprawdz, czy bok jest poziomy/pionowy.
  2. Jesli tak - odczytaj podstawe i wysokosc.
  3. Jesli nie - uzyj wzoru wyznacznikowego.
  4. Policz pole (wartosc bezwzgledna).

⚠️ Najczęstsze pułapki

ŹleDobrzeDlaczego
✗ pole bez czynnika $\tfrac12$✓ $P=\tfrac12 a h$nie zapomnij o polowie
✗ $|AB|=(\Delta x)+(\Delta y)$✓ $=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}$pierwiastek z sumy kwadratow
✗ srodek to suma wspolrzednych✓ to srednia (podziel przez $2$)$\tfrac{x_A+x_B}{2}$
✗ pomijanie wartosci bezwzglednej w polu✓ pole jest nieujemne$|\dots|$
✗ mylenie podstawy z wysokoscia✓ wysokosc prostopadla do podstawydla boku poziomego - roznica $y$

✍️ Przykład wzorcowy typ zadania z geometrii analitycznej (rozszerzenie)

Oblicz pole trojkata o wierzcholkach $A(1,1)$, $B(5,1)$, $C(3,6)$.

📊 Ślad w prawdziwych arkuszach CKE

Zadania autentyczne. Niżej są prawdziwe zadania z arkuszy CKE — numer i punktacja zgodne z oryginalnym arkuszem. Kliknij rok, aby otworzyć cały arkusz.

RokZadaniaPktCzego dotyczyło
20200 pktbrak osobnego zadania
20210 pktbrak osobnego zadania
20220 pktbrak osobnego zadania
20230 pktbrak osobnego zadania
2024zad. 94 pkt$).
Oblicz pola figur $
20250 pktbrak osobnego zadania
2026zad. 43 pkt$ są środkami — odpowiednio — boków $

✍️ Trening: 10 zadań w formacie maturalnym

Zadania autorskie. To nie są przedruki z arkuszy — ułożyliśmy je w formacie maturalnym, na wzorów z tabeli „Ślad w arkuszach CKE” powyżej. Typ, punktacja i poziom trudności odpowiadają realnym zadaniom egzaminacyjnym.

Zadania zamknięte sprawdzają się po kliknięciu odpowiedzi (jedna próba). W otwartych porównaj swoje rozwiązanie z wzorcowym i wystaw samoocenę według schematu punktowania — wynik zapisze się na koncie.

PR38.1zamknięte★★ 0–1 pkt🔗

Pole trojkata o wierzcholkach $A(0,0)$, $B(4,0)$, $C(0,3)$ jest rowne

A$6$
B$12$
C$7$
D$3$
PR38.2zamknięte★★ 0–1 pkt🔗

Dlugosc odcinka o koncach $A(0,0)$, $B(3,4)$ jest rowna

A$5$
B$7$
C$25$
D$1$
PR38.3zamknięte★★ 0–1 pkt🔗

Srodek odcinka o koncach $A(2,4)$, $B(6,8)$ ma wspolrzedne

A$(4,6)$
B$(8,12)$
C$(2,2)$
D$(4,4)$
PR38.4zamknięte★★ 0–1 pkt🔗

Pole trojkata o wierzcholkach $A(1,1)$, $B(4,1)$, $C(1,5)$ jest rowne

A$6$
B$12$
C$7$
D$4$
PR38.5odpowiedź krótka★★ 0–1 pkt🔗

Oblicz pole trojkata o wierzcholkach $A(0,0)$, $B(5,0)$, $C(0,2)$.

✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś?/ 1 pkt
PR38.6zamknięte★★ 0–1 pkt🔗

Dlugosc odcinka o koncach $A(0,0)$, $B(0,5)$ jest rowna

A$5$
B$25$
C$0$
D$\sqrt5$
PR38.7zamknięte★★ 0–1 pkt🔗

Pole trojkata o wierzcholkach $A(0,0)$, $B(4,0)$, $C(2,3)$ jest rowne

A$6$
B$12$
C$5$
D$3$
PR38.8zamknięte★★ 0–1 pkt🔗

Srodek odcinka o koncach $A(-2,3)$, $B(4,-1)$ ma wspolrzedne

A$(1,1)$
B$(2,2)$
C$(1,2)$
D$(3,1)$
PR38.9zamknięte★★ 0–1 pkt🔗

Dlugosc odcinka o koncach $A(1,2)$, $B(4,6)$ jest rowna

A$5$
B$7$
C$\sqrt7$
D$25$
PR38.10otwarte★★★ 0–2 pkt🔗

Oblicz pole trojkata o wierzcholkach $A(1,2)$, $B(7,2)$, $C(4,8)$.

✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś?/ 2 pkt
Zacznij dziś

Zacznij naukę już dziś
— to nic nie kosztuje

Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.

🚀 Załóż konto za darmo → 📄 Przeglądaj arkusze ✉️ Napisz do nas