PR37

Okrag wpisany i opisany na czworokacie — klucz maturalny, poziom rozszerzony

PriorytetBważny po opanowaniu filarów
Częstotliwość3/7arkuszy 2020–2026
Punkty w arkuszu2 pkt
Formy zadańzamkniete i otwarte (katy i boki czworokata)
🔑 Sygnał: Czworokat wpisany w okrag: przeciwlegle katy sumuja sie do $180^\circ$; opisany: sumy przeciwleglych bokow rowne.

🎯 Co musisz umieć

  • stosowac warunek $\alpha+\gamma=180^\circ$ dla czworokata wpisanego,
  • stosowac warunek $a+c=b+d$ dla czworokata opisanego,
  • korzystac z sumy katow czworokata $360^\circ$,
  • wyznaczac brakujacy kat lub bok.

🔍 Jak rozpoznać zadanie

  • czworokat wpisany w okrag - przeciwlegle katy do $180^\circ$,
  • czworokat opisany na okregu - $a+c=b+d$,
  • brakujacy kat - z sumy $360^\circ$.

📘 Teoria w pigułce

  • Czworokat mozna wpisac w okrag wtedy i tylko wtedy, gdy sumy przeciwleglych katow sa rowne $180^\circ$.
  • Czworokat mozna opisac na okregu wtedy i tylko wtedy, gdy sumy przeciwleglych bokow sa rowne: $a+c=b+d$.
  • Suma katow wewnetrznych czworokata wynosi $360^\circ$.

∑ Najważniejsze wzory

wpisany: $\alpha+\gamma=180^\circ$
wpisany: $\beta+\delta=180^\circ$
opisany: $a+c=b+d$
suma katow $=360^\circ$
$\delta=360^\circ-(\alpha+\beta+\gamma)$

⚙️ Algorytm krok po kroku

  1. Rozpoznaj, czy czworokat jest wpisany, czy opisany.
  2. Zastosuj odpowiedni warunek (katy lub boki).
  3. Podstaw dane.
  4. Wyznacz brakujacy kat lub bok.

⚠️ Najczęstsze pułapki

ŹleDobrzeDlaczego
✗ wpisany: $\alpha+\gamma=360^\circ$✓ $=180^\circ$przeciwlegle katy do polkata
✗ opisany: $a+b=c+d$✓ $a+c=b+d$ (przeciwlegle)sumuj przeciwlegle boki
✗ suma katow czworokata $180^\circ$✓ $360^\circ$to nie trojkat
✗ warunek wpisania dla dowolnego czworokata✓ tylko gdy $\alpha+\gamma=180^\circ$nie kazdy sie wpisze
✗ mylenie warunkow wpisany/opisany✓ wpisany - katy, opisany - bokirozne kryteria

✍️ Przykład wzorcowy typ zadania z czworokatem i okregiem (rozszerzenie)

Czworokat jest opisany na okregu. Jego boki to $a=8$, $b=5$, $c=6$. Oblicz bok $d$.

📊 Ślad w prawdziwych arkuszach CKE

Zadania autentyczne. Niżej są prawdziwe zadania z arkuszy CKE — numer i punktacja zgodne z oryginalnym arkuszem. Kliknij rok, aby otworzyć cały arkusz.

RokZadaniaPktCzego dotyczyło
2020—0 pktbrak osobnego zadania
2021—0 pktbrak osobnego zadania
2022—0 pktbrak osobnego zadania
2023zad. 84 pkt$\frac{1}{4}$
2024—0 pktbrak osobnego zadania
2025—0 pktbrak osobnego zadania
2026zad. 116 pkt$|\angle BAD|=60^{\circ}$
Działy w serwisie:Czworokąty wypukłeOkrąg wpisany w czworokąt

✍️ Trening: 10 zadań w formacie maturalnym

Zadania autorskie. To nie są przedruki z arkuszy — ułożyliśmy je w formacie maturalnym, na wzorów z tabeli „Ślad w arkuszach CKE” powyżej. Typ, punktacja i poziom trudności odpowiadają realnym zadaniom egzaminacyjnym.

Zadania zamknięte sprawdzają się po kliknięciu odpowiedzi (jedna próba). W otwartych porównaj swoje rozwiązanie z wzorcowym i wystaw samoocenę według schematu punktowania — wynik zapisze się na koncie.

PR37.1zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

W czworokacie wpisanym w okrag jeden z katow ma $70^\circ$. Kat przeciwlegly ma

A$110^\circ$
B$70^\circ$
C$20^\circ$
D$290^\circ$
PR37.2zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Suma katow wewnetrznych czworokata jest rowna

A$360^\circ$
B$180^\circ$
C$540^\circ$
D$90^\circ$
PR37.3zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Czworokat opisany na okregu ma boki $a=3$, $b=4$, $c=5$. Bok $d$ jest rowny

A$4$
B$6$
C$2$
D$5$
PR37.4zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

W czworokacie wpisanym w okrag kat $\alpha=90^\circ$. Kat przeciwlegly $\gamma$ jest rowny

A$90^\circ$
B$180^\circ$
C$45^\circ$
D$270^\circ$
PR37.5odpowiedź krótka★★★ 0–1 pkt🔗

W czworokacie wpisanym w okrag jeden kat ma $85^\circ$. Oblicz kat przeciwlegly.

✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś?/ 1 pkt
PR37.6zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Warunkiem wpisania czworokata w okrag jest

A$\alpha+\gamma=180^\circ$
B$a+c=b+d$
C$\alpha+\gamma=90^\circ$
Dwszystkie boki rowne
PR37.7zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

W czworokacie katy to $100^\circ$, $80^\circ$, $110^\circ$. Czwarty kat jest rowny

A$70^\circ$
B$80^\circ$
C$90^\circ$
D$60^\circ$
PR37.8zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Warunkiem opisania czworokata na okregu jest

A$a+c=b+d$
B$\alpha+\gamma=180^\circ$
C$a=b=c=d$
D$a+b=c+d$
PR37.9zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Czworokat opisany na okregu ma boki $a=5$, $c=7$, $b=6$. Bok $d$ jest rowny

A$6$
B$8$
C$4$
D$7$
PR37.10otwarte★★★ 0–2 pkt🔗

W czworokacie wpisanym w okrag katy przy jednym boku to $\alpha=95^\circ$ i sasiedni $\beta=100^\circ$. Oblicz pozostale dwa katy.

✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś?/ 2 pkt

Pobierz PDF — matura rozszerzona

🔑Klucze i teoriateoria, wzory, algorytmy, pułapki, ściągaPDF · 3,1 MB ⬇✍️Zadania10 zadań na klucz, miejsce na rozwiązanie, odpowiedziPDF · 2,2 MB ⬇✅Rozwiązaniapełne rozwiązania krok po kroku + schemat punktowaniaPDF · 4,5 MB ⬇
Zacznij dziś

Zacznij naukę już dziś
— to nic nie kosztuje

Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.

🚀 Załóż konto za darmo → 📄 Przeglądaj arkusze ✉️ Napisz do nas