PR30

Dzialania na pochodnych — klucz maturalny, poziom rozszerzony

PriorytetAbardzo ważny
Częstotliwość5/7arkuszy 2020–2026
Punkty w arkuszu2 pkt
Formy zadańotwarte i zamkniete (rozniczkowanie wielomianow)
🔑 Sygnał: Pochodna sumy = suma pochodnych; stala wynosisz przed pochodna.

🎯 Co musisz umieć

  • rozniczkowac wielomiany skladnik po skladniku,
  • stosowac $(x^n)'=nx^{n-1}$ i $(cf)'=cf'$,
  • wyznaczac miejsca zerowe pochodnej,
  • zapisywac pochodna w uproszczonej postaci.

🔍 Jak rozpoznać zadanie

  • wielomian - rozniczkuj kazdy jednomian,
  • stala przy skladniku - zostaje jako mnoznik pochodnej,
  • 'miejsca zerowe pochodnej' - rozwiaz $f'(x)=0$.

📘 Teoria w pigułce

  • $(f+g)'=f'+g'$ oraz $(cf)'=c\,f'$. Kazdy jednomian rozniczkujemy wzorem $(x^n)'=nx^{n-1}$.
  • Pochodna wielomianu jest wielomianem o stopien nizszym.
  • Miejsca zerowe pochodnej to kandydaci na ekstrema funkcji.

∑ Najważniejsze wzory

$(x^n)'=nx^{n-1}$
$(cf)'=c f'$
$(f+g)'=f'+g'$
$(ax^2+bx+c)'=2ax+b$
$(x^3)'=3x^2$

⚙️ Algorytm krok po kroku

  1. Rozniczkuj kazdy jednomian osobno.
  2. Stale mnozniki zostaw przed pochodna.
  3. Zsumuj wyniki.
  4. Do miejsc zerowych rozwiaz $f'(x)=0$.

⚠️ Najczęstsze pułapki

ŹleDobrzeDlaczego
✗ $(3x^2)'=3x$✓ $(3x^2)'=6x$wspolczynnik $\times$ wykladnik
✗ $(x^2+x)'=2x$✓ $=2x+1$nie gub pochodnej $x$
✗ pochodna obniza wspolczynnik, nie wykladnik✓ wykladnik maleje o $1$$(x^4)'=4x^3$
✗ $(2x^3)'=2x^2$✓ $=6x^2$$3\cdot2=6$
✗ pochodna stalej $=$ stala✓ $=0$stala znika

✍️ Przykład wzorcowy typ zadania z rozniczkowaniem (rozszerzenie)

Wyznacz pochodna funkcji $f(x)=2x^3-3x^2+x$.

📊 Ślad w prawdziwych arkuszach CKE

Zadania autentyczne. Niżej są prawdziwe zadania z arkuszy CKE — numer i punktacja zgodne z oryginalnym arkuszem. Kliknij rok, aby otworzyć cały arkusz.

RokZadaniaPktCzego dotyczyło
2020—0 pktbrak osobnego zadania
2021—0 pktbrak osobnego zadania
2022—0 pktbrak osobnego zadania
2023zad. 33 pkt$ oraz wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji $
2024zad. 43 pkt$ o pierwszej współrzędnej równej $
2025—0 pktbrak osobnego zadania
2026—0 pktbrak osobnego zadania
Działy w serwisie:Działania na pochodnych

✍️ Trening: 15 zadań w formacie maturalnym

Zadania autorskie. To nie są przedruki z arkuszy — ułożyliśmy je w formacie maturalnym, na wzorów z tabeli „Ślad w arkuszach CKE” powyżej. Typ, punktacja i poziom trudności odpowiadają realnym zadaniom egzaminacyjnym.

Zadania zamknięte sprawdzają się po kliknięciu odpowiedzi (jedna próba). W otwartych porównaj swoje rozwiązanie z wzorcowym i wystaw samoocenę według schematu punktowania — wynik zapisze się na koncie.

PR30.1zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Pochodna funkcji $f(x)=x^2+x$ jest równa

A$2x+1$
B$2x$
C$x+1$
D$2x+x$
PR30.2zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Pochodna funkcji $f(x)=3x^2$ jest równa

A$3x$
B$6x$
C$6x^2$
D$3$
PR30.3zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Pochodna funkcji $f(x)=x^4$ jest równa

A$4x^4$
B$x^3$
C$4x^3$
D$4x$
PR30.4zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Pochodna funkcji $f(x)=x^3+2x$ jest równa

A$3x^2$
B$3x^2+2x$
C$x^2+2$
D$3x^2+2$
PR30.5odpowiedź krótka★★★ 0–1 pkt🔗

Wyznacz pochodną funkcji $f(x)=5x^2-3x$.

✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś?/ 1 pkt
PR30.6zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Pochodna funkcji $f(x)=2x^3$ jest równa

A$6x^2$
B$2x^2$
C$6x^3$
D$3x^2$
PR30.7zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Pochodna funkcji $f(x)=x^2-5$ jest równa

A$2x-5$
B$2x$
C$2x-1$
D$x$
PR30.8zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Pochodna funkcji $f(x)=4x$ jest równa

A$0$
B$4x$
C$4$
D$1$
PR30.9zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Miejscem zerowym pochodnej funkcji $f(x)=x^2-6x$ jest

A$6$
B$0$
C$-3$
D$3$
PR30.10otwarte★★★ 0–2 pkt🔗

Dana jest funkcja $f(x)=x^3-6x^2+9x$. Wyznacz $f'(x)$ i jego miejsca zerowe.

✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś?/ 2 pkt
PR30.11zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Pochodna funkcji $f(x)=x^2+3x$ jest równa

A$2x+3$
B$2x$
C$x+3$
D$2x+3x$
PR30.12zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Pochodna funkcji $f(x)=4x^2$ jest równa

A$4x$
B$8x$
C$8x^2$
D$4$
PR30.13zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Pochodna funkcji $f(x)=x^3-x$ jest równa

A$3x^2$
B$3x-1$
C$3x^2-1$
D$x^2-1$
PR30.14zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Pochodna funkcji $f(x)=2x$ jest równa

A$0$
B$2x$
C$1$
D$2$
PR30.15odpowiedź krótka★★★ 0–1 pkt🔗

Wyznacz pochodną funkcji $f(x)=x^3-3x^2+2x$.

✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś?/ 1 pkt

Pobierz PDF — matura rozszerzona

🔑Klucze i teoriateoria, wzory, algorytmy, pułapki, ściągaPDF · 1 MB ⬇✍️Zadaniazadania do każdego klucza, miejsce na rozwiązanie, odpowiedziPDF · 7,7 MB ⬇✅Rozwiązaniapełne rozwiązania krok po kroku + schemat punktowaniaPDF · 3 MB ⬇
Zacznij dziś

Zacznij naukę już dziś
— to nic nie kosztuje

Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.

🚀 Załóż konto za darmo → 📄 Przeglądaj arkusze ✉️ Napisz do nas