PR31

Monotonicznosc i ekstrema z pochodnej — klucz maturalny, poziom rozszerzony

PriorytetAbardzo ważny
Częstotliwość6/7arkuszy 2020–2026
Punkty w arkuszu3 pkt
Formy zadańotwarte (badanie znaku pochodnej)
🔑 Sygnał: $f'>0$ -> funkcja rosnie, $f'<0$ -> maleje; ekstremum tam, gdzie $f'$ zmienia znak.

🎯 Co musisz umieć

  • wyznaczac przedzialy monotonicznosci z pochodnej,
  • znajdowac ekstrema (minimum, maksimum),
  • rozwiazywac $f'(x)=0$ i badac znak $f'$,
  • rozroznjac maksimum od minimum po zmianie znaku pochodnej.

🔍 Jak rozpoznać zadanie

  • 'przedzialy monotonicznosci' - zbadaj znak $f'(x)$,
  • 'ekstremum' - miejsce, gdzie $f'$ zmienia znak,
  • $f'>0$ -> rosnie; $f'<0$ -> maleje.

📘 Teoria w pigułce

  • Jesli $f'(x)>0$ w przedziale, funkcja jest rosnaca; jesli $f'(x)<0$ - malejaca.
  • W punkcie, gdzie $f'$ zmienia znak z $+$ na $-$, jest maksimum; z $-$ na $+$ - minimum.
  • Kandydatow na ekstrema szukamy wsrod miejsc zerowych pochodnej.

∑ Najważniejsze wzory

$f'(x)>0\Rightarrow$ rosnie
$f'(x)<0\Rightarrow$ maleje
ekstremum: $f'(x_0)=0$ i zmiana znaku
$+\to-$ : maksimum
$-\to+$ : minimum

⚙️ Algorytm krok po kroku

  1. Wyznacz $f'(x)$.
  2. Rozwiaz $f'(x)=0$.
  3. Zbadaj znak $f'$ w przedzialach.
  4. Okresl monotonicznosc i typ ekstremum.

⚠️ Najczęstsze pułapki

ŹleDobrzeDlaczego
✗ ekstremum wszedzie, gdzie $f'=0$✓ tylko gdy $f'$ zmienia znaknp. $x^3$ ma $f'(0)=0$ bez ekstremum
✗ $f'>0$ oznacza maleje✓ $f'>0$ oznacza rosniedodatnia pochodna - wzrost
✗ maksimum tam, gdzie $-\to+$✓ maksimum przy $+\to-$uwaga na kolejnosc znakow
✗ pomijanie miejsc zerowych pochodnej✓ znajdz wszystkie $f'(x)=0$kazde jest kandydatem
✗ monotonicznosc bez badania znaku✓ zbadaj znak $f'$ w przedzialachto on decyduje

✍️ Przykład wzorcowy typ zadania z ekstremami (rozszerzenie)

Wyznacz argument, dla ktorego funkcja $f(x)=x^2-8x+3$ osiaga minimum.

📊 Ślad w prawdziwych arkuszach CKE

Zadania autentyczne. Niżej są prawdziwe zadania z arkuszy CKE — numer i punktacja zgodne z oryginalnym arkuszem. Kliknij rok, aby otworzyć cały arkusz.

RokZadaniaPktCzego dotyczyło
2020—0 pktbrak osobnego zadania
2021—0 pktbrak osobnego zadania
2022—0 pktbrak osobnego zadania
2023zad. 1224 pkt$. Przyjmij, że wzór funkcji można przedstawić w postaci $
2024—0 pktbrak osobnego zadania
2025—0 pktbrak osobnego zadania
2026—0 pktbrak osobnego zadania
Działy w serwisie:Ekstrema funkcjiMonotoniczność funkcji a pochodna

✍️ Trening: 15 zadań w formacie maturalnym

Zadania autorskie. To nie są przedruki z arkuszy — ułożyliśmy je w formacie maturalnym, na wzorów z tabeli „Ślad w arkuszach CKE” powyżej. Typ, punktacja i poziom trudności odpowiadają realnym zadaniom egzaminacyjnym.

Zadania zamknięte sprawdzają się po kliknięciu odpowiedzi (jedna próba). W otwartych porównaj swoje rozwiązanie z wzorcowym i wystaw samoocenę według schematu punktowania — wynik zapisze się na koncie.

PR31.1zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Funkcja $f(x)=x^2-4x$ jest rosnąca dla

A$x>2$
B$x<2$
C$x>4$
D$x>0$
PR31.2zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Funkcja $f(x)=x^2-2x$ ma minimum dla $x$ równego

A$2$
B$1$
C$0$
D$-1$
PR31.3zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Funkcja o pochodnej $f'(x)=2x-6$ jest malejąca dla

A$x>3$
B$x<6$
C$x<3$
D$x>6$
PR31.4zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Funkcja $f(x)=-x^2+4x$ ma maksimum dla $x$ równego

A$4$
B$-2$
C$0$
D$2$
PR31.5odpowiedź krótka★★★ 0–1 pkt🔗

Wyznacz argument, dla którego funkcja $f(x)=x^2-8x+3$ ma minimum.

✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś?/ 1 pkt
PR31.6zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Funkcja $f(x)=x^3$ na zbiorze liczb rzeczywistych jest

Arosnąca
Bmalejąca
Cstała
Dma maksimum
PR31.7zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Funkcja $f(x)=x^2-6x+1$ jest malejąca dla

A$x>3$
B$x<3$
C$x<6$
D$x>1$
PR31.8zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Funkcja o pochodnej $f'(x)=3x^2$ na zbiorze liczb rzeczywistych

Ama minimum
Bma maksimum
Cnie ma ekstremów
Djest malejąca
PR31.9zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Funkcja $f(x)=x^2+2x$ jest rosnąca dla

A$x>1$
B$x<-1$
C$x>0$
D$x>-1$
PR31.10otwarte★★★ 0–2 pkt🔗

Dana jest funkcja $f(x)=x^3-3x$. Wyznacz $f'(x)$, miejsca zerowe pochodnej i określ typ ekstremów.

✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś?/ 2 pkt
PR31.11zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Funkcja $f(x)=x^2-2x$ jest rosnąca dla

A$x>1$
B$x<1$
C$x>2$
D$x>0$
PR31.12zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Funkcja $f(x)=x^2-4x$ ma minimum dla $x$ równego

A$4$
B$2$
C$0$
D$-2$
PR31.13zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Funkcja o pochodnej $f'(x)=2x-8$ jest malejąca dla

A$x>4$
B$x<8$
C$x<4$
D$x>8$
PR31.14zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Funkcja $f(x)=-x^2+2x$ ma maksimum dla $x$ równego

A$2$
B$-1$
C$0$
D$1$
PR31.15odpowiedź krótka★★★ 0–1 pkt🔗

Wyznacz argument, dla którego funkcja $f(x)=x^2-10x+1$ ma minimum.

✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś?/ 1 pkt

Pobierz PDF — matura rozszerzona

🔑Klucze i teoriateoria, wzory, algorytmy, pułapki, ściągaPDF · 1 MB ⬇✍️Zadaniazadania do każdego klucza, miejsce na rozwiązanie, odpowiedziPDF · 7,7 MB ⬇✅Rozwiązaniapełne rozwiązania krok po kroku + schemat punktowaniaPDF · 3 MB ⬇
Zacznij dziś

Zacznij naukę już dziś
— to nic nie kosztuje

Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.

🚀 Załóż konto za darmo → 📄 Przeglądaj arkusze ✉️ Napisz do nas