PR24

Nierownosci wielomianowe — klucz maturalny, poziom rozszerzony

PriorytetBważny po opanowaniu filarów

Częstotliwość4/7arkuszy 2020–2026

Punkty w arkuszu2 pkt

Formy zadańotwarte i zamkniete (metoda znakow na osi)

🔑 Sygnał: Rozloz na czynniki, znajdz pierwiastki i analizuj znak na osi (metoda 'wezyka').

🎯 Co musisz umieć

rozkladac wielomian na czynniki,
stosowac metode znakow (siatke) na osi liczbowej,
uwzgledniac pierwiastki wielokrotne,
zapisywac rozwiazanie w postaci przedzialow.

🔍 Jak rozpoznać zadanie

iloczyn czynnikow $\gtrless0$ - metoda znakow,
pierwiastek podwojny $(x-a)^2$ - znak sie nie zmienia,
'ile liczb calkowitych' - policz kraty w przedziale.

📘 Teoria w pigułce

Wielomian rozkladamy na czynniki liniowe; jego znak zmienia sie przy przejsciu przez pierwiastek pojedynczy.
Przy pierwiastku podwojnym $(x-a)^2$ znak sie nie zmienia (czynnik jest zawsze $\ge0$).
Rozwiazanie odczytujemy z osi jako sume przedzialow o odpowiednim znaku.

∑ Najważniejsze wzory

$(x-p)(x-q)>0$ - poza $\langle p,q\rangle$

$(x-p)(x-q)<0$ - miedzy $p$ a $q$

$(x-a)^2\ge0$ zawsze

$x^2>a^2\iff x<-a\lor x>a$ (dla $a>0$)

pierwiastki dziela os na przedzialy

⚙️ Algorytm krok po kroku

Przenies wszystko na jedna strone.
Rozloz wielomian na czynniki.
Zaznacz pierwiastki na osi i okresl znak w przedzialach.
Wybierz przedzialy zgodne z nierownoscia.

⚠️ Najczęstsze pułapki

Źle	Dobrze	Dlaczego
✗ $(x-1)(x-3)<0$ to $x<1$ lub $x>3$	✓ to $1	iloczyn ujemny miedzy pierwiastkami
✗ przy $(x-2)^2$ znak sie zmienia	✓ pierwiastek podwojny - znak bez zmiany	czynnik zawsze $\ge0$
✗ $x^2\ge16$ to $-4\le x\le4$	✓ to $x\le-4$ lub $x\ge4$	na zewnatrz pierwiastkow
✗ pomijanie jednego pierwiastka przy zliczaniu	✓ uwzglednij wszystkie miejsca zerowe	kazdy dzieli os
✗ $x(x-2)>0$ tylko $x>2$	✓ takze $x<0$	dwa przedzialy dodatnie

✍️ Przykład wzorcowy typ zadania z nierownoscia wielomianowa (rozszerzenie)

Rozwiaz nierownosc $x(x-1)(x-2)>0$.

📊 Ślad w prawdziwych arkuszach CKE

Zadania autentyczne. Niżej są prawdziwe zadania z arkuszy CKE — numer i punktacja zgodne z oryginalnym arkuszem. Kliknij rok, aby otworzyć cały arkusz.

Rok	Zadania	Pkt	Czego dotyczyło
2020	—	0 pkt	brak osobnego zadania
2021	—	0 pkt	brak osobnego zadania
2022	—	0 pkt	brak osobnego zadania
2023	—	0 pkt	brak osobnego zadania
2024	—	0 pkt	brak osobnego zadania
2025	—	0 pkt	brak osobnego zadania
2026	zad. 5	4 pkt	$\|2x-6\|-\left\|x^{2}-9\right\|<0.$

Działy w serwisie:Nierówności wielomianowe

✍️ Trening: 10 zadań w formacie maturalnym

Zadania autorskie. To nie są przedruki z arkuszy — ułożyliśmy je w formacie maturalnym, na wzorów z tabeli „Ślad w arkuszach CKE” powyżej. Typ, punktacja i poziom trudności odpowiadają realnym zadaniom egzaminacyjnym.

Zadania zamknięte sprawdzają się po kliknięciu odpowiedzi (jedna próba). W otwartych porównaj swoje rozwiązanie z wzorcowym i wystaw samoocenę według schematu punktowania — wynik zapisze się na koncie.

PR24.1zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Rozwiazaniem nierownosci $x(x-2)>0$ jest

A$x<0$ lub $x>2$

B$0

C$x>2$

D$x<0$

PR24.2zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Rozwiazaniem nierownosci $(x-1)(x-3)<0$ jest

A$1

B$x<1$ lub $x>3$

C$x>3$

D$x<1$

PR24.3zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Rozwiazaniem nierownosci $x^2-4>0$ jest

A$x<-2$ lub $x>2$

B$-2

C$x>2$

D$x>4$

PR24.4zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Ile liczb calkowitych spelnia nierownosc $(x+1)(x-4)\le0$?

A$6$

B$5$

C$4$

D$3$

PR24.5odpowiedź krótka★★★ 0–1 pkt🔗

Rozwiaz nierownosc $x^2-5x+6<0$.

✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś?/ 1 pkt

PR24.6zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Rozwiazaniem nierownosci $x^2\ge16$ jest

A$x\le-4$ lub $x\ge4$

B$-4\le x\le4$

C$x\ge4$

D$x\ge16$

PR24.7zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Rozwiazaniem nierownosci $(x-2)^2>0$ jest

A$x\ne2$

B$x>2$

Cwszystkie $x$

D$x<2$

PR24.8zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Rozwiazaniem nierownosci $x^2+x>0$ jest

A$x<-1$ lub $x>0$

B$-1

C$x>0$

D$x>-1$

PR24.9zamknięte★★★ 0–1 pkt🔗

Rozwiazaniem nierownosci $(x-1)(x-2)(x-3)>0$ jest

A$(1,2)\cup(3,\infty)$

B$(1,3)$

C$(2,\infty)$

D$(-\infty,1)$

PR24.10otwarte★★★ 0–2 pkt🔗

Rozwiaz nierownosc $(x-1)^2(x+3)<0$.

✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś?/ 2 pkt

Pobierz PDF — matura rozszerzona

🔑Klucze i teoriateoria, wzory, algorytmy, pułapki, ściągaPDF · 3,1 MB ⬇✍️Zadania10 zadań na klucz, miejsce na rozwiązanie, odpowiedziPDF · 2,2 MB ⬇✅Rozwiązaniapełne rozwiązania krok po kroku + schemat punktowaniaPDF · 4,5 MB ⬇

Zacznij dziś

Zacznij naukę już dziś
— to nic nie kosztuje

Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.

🚀 Załóż konto za darmo → 📄 Przeglądaj arkusze ✉️ Napisz do nas