Dane są trzy liczby:

\(a=10^{23}+1\)

\(b=10^{23}-1\)

\(c=10^{23}+2\)



Które z tych liczb są podzielne przez \(3\)?

A Tylko liczby \(a\) i \(b\)
B Tylko liczba \(b\)
C Tylko liczby \(b\) i \(c\)
D Tylko liczba \(c\)

Odpowiedź:      

C

Rozwiązanie:      
Cecha podzielności liczb przez \(3\) związana jest z sumą cyfr danej liczby. Liczba jest podzielna przez \(3\) tylko i wyłącznie wtedy, gdy suma jej cyfr jest być podzielna przez \(3\). Aby dojść do tego która z podanych liczb jest podzielna przez \(3\) to zastanówmy się najpierw jak wygląda liczba \(10^{23}\). Jest to jedynka na początku, a dalej są już same zera. Suma cyfr takiej liczby byłaby więc równa \(1\). W związku z tym liczba \(a=10^{23}+1\) będzie miała sumę cyfr równą \(2\) (to będzie tak naprawdę jedynka na początku, same zera w środku i jedynka na końcu). To oznacza, że ta liczba nie jest podzielna przez \(3\). Bardzo podobnie możemy przeanalizować trzecią liczbę, czyli \(c=10^{23}+2\). Suma cyfr tej liczby będzie równa \(3\) (to będzie jedynka na początku, same zera w środku oraz \(2\) na końcu), zatem ta liczba jest podzielna przez \(3\). Najtrudniejsza do oceny jest ta druga liczba. Gdybyśmy mieli \(10^3-1\), to mielibyśmy działanie \(1000-1=999\). Gdybyśmy mieli \(10^4-1\), to analogicznie byłoby to \(10000-1=9999\). Widzimy wyraźnie, że w takich zapisach mamy same dziewiątki, a tych dziewiątek jest dokładnie tyle ile jest równy wykładnik potęgi przy dziesiątce. W zapisie \(10^{23}-1\) będziemy mieć analogiczną sytuację i ta liczba to będą dwadzieścia trzy dziewiątki obok siebie. To oznacza, że suma cyfr tej liczby jest na pewno podzielna przez \(3\). Jakby ktoś nie był tego pewien, to możemy obliczyć że suma cyfr jest równa \(23\cdot9=207\), a liczba \(207\) jest podzielna przez \(3\). To oznacza, że podzielne przez \(3\) są liczby \(b\) oraz \(c\).

Teoria:      
W trakcie opracowania