Dane są liczby:

\(a=4^3+4^3+4^3+4^3\)

\(b=(2^4)^2\)

\(c=2^4\)



Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, lub F - jeśli jest fałszywe. Liczby \(a\) i \(b\) są równe.
Liczba \(b\) jest dwa razy większa niż liczba \(c\).

Liczby \(a\) i \(b\) są równe.

Odpowiedź:      

1) PRAWDA

2) FAŁSZ

Rozwiązanie:      
Krok 1. Sprowadzenie liczb do jednakowej podstawy potęgi. Aby móc porównać te wszystkie liczby musimy sprowadzić je do jednakowej podstawy potęgi lub jednakowego wykładnika potęgi. W tym przypadku będziemy sprowadzać liczby do jednakowej podstawy potęgi, która będzie równa \(2\). Rozpiszmy sobie zatem każdą z liczb po kolei. W przypadku liczby \(a\) musimy najpierw wykonać dodawanie potęg. Wiemy, że na dodawanie i odejmowanie potęg nie ma jakichś specjalnych wzorów (nie możemy dodawać wykładników potęg, bo wykładniki dodajemy przy mnożeniu potęg!). Trzeba się tutaj posłużyć pewnym sprytem i zauważyć, że czterokrotnie dodajemy tą samą potęgę, czyli \(4^3\). Całość rozpisać możemy więc w następujący sposób: $$a=4^3+4^3+4^3+4^3=4\cdot4^3=4^1\cdot4^3=4^{1+3}=4^4$$ Chcemy jeszcze sprowadzić tę liczbę do podstawy potęgi równej \(2\), zatem zapisując \(4\) jako \(2^2\) i korzystając z działań na potęgach otrzymamy: $$a=4^4=(2^2)^4=2^{2\cdot4}=2^8$$ Teraz przejdźmy do liczby \(b\). Tutaj sprawa jest prosta, bo mamy potęgę do potęgi, więc wykładniki musimy wymnożyć: $$b=(2^4)^2=2^{4\cdot2}=2^8$$ Na koniec liczba \(c\). Z nią nic nie musimy robić, bo jest ona już zapisana w pożądanej przez nas postaci, zatem \(c=2^4\). Krok 2. Ocena prawdziwości pierwszego zdania. W poprzednim kroku udało nam się ustalić, że \(a=2^8\) oraz że \(b=2^8\). Te dwie liczby są więc sobie równe, czyli zdanie jest prawdą. Krok 3. Ocena prawdziwości drugiego zdania. Wiemy, że \(b=2^8\) oraz że \(c=2^4\). Już w tym momencie powinniśmy dostrzec, że liczba \(b\) nie jest dwa razy większa niż liczba \(c\), ale jeśli tego nie dostrzegamy, to zawsze możemy podzielić te dwie liczby przez siebie: $$2^8:2^4=2^{8-4}=2^4=16$$ To oznacza, że liczba \(b\) jest \(16\) razy większa od liczby \(c\).

Teoria:      
W trakcie opracowania