Próbny egzamin ósmoklasisty z matematyki

{tytul} Zbiory arkuszy egzaminacyjnych z matematyki dla ósmoklasistów. Znajdziesz tu różnorodne zadania egzaminacyjne, przykładowe arkusze, rozwiązania zadań, testy z matematyki oraz wiele innych przydatnych materiałów

MATEMA tix .pl

Matematyczne wyzwania

Zbiory arkuszy egzaminacyjnych z matematyki dla ósmoklasistów. Znajdziesz tu różnorodne zadania egzaminacyjne, przykładowe arkusze, rozwiązania zadań, testy z matematyki oraz wiele innych przydatnych materiałów

Arkusz 2019

Próbny egzamin ósmoklasisty z matematyki - Nowa Era 2019 Zadanie 15 z 21

ZADANIE ODPOWIEDŹ ROZWIĄZANIE TEORIA

Zadanie nr 15. (1pkt)

Dany jest prostokąt $ABCD$ o bokach długości $5cm$ i $10cm$. Na boku $CD$, w odległości $4cm$ od punktu $D$, zaznaczono punkt $E$, który połączono z punktami $A$ i $B$ tak, jak na rysunku.

Matematyka jest prosta

Czy trójkąt $ABE$ jest prostokątny? A) $|AE|+|EB|\gt|AB|$
B) $|AE|^2+|EB|^2\gt|AB|^2$
C) $|AE|+|EB|=|AB|$

Odpowiedź:

Nie ponieważ opcja B

Rozwiązanie:
Krok 1. Obliczenie długości boku $AE$. Spójrzmy na biały trójkąt $ADE$. Jest to na pewno trójkąt prostokątny (bo kąt przy wierzchołku $D$ jest kątem prostokąta). Odcinek $AD$ ma długość $5cm$, natomiast odcinek $DE$ ma długość $4cm$. Korzystając więc z Twierdzenia Pitagorasa możemy zapisać, że: $$4^2+5^2=|AE|^2 \ ,\ 16+25=|AE|^2 \ ,\ |AE|^2=41 \ ,\ |AE|=\sqrt{41} \quad\lor\quad |AE|=-\sqrt{41}$$ Ujemny wynik oczywiście odrzucamy, bo długość boku nie może być ujemna, zatem zostaje nam $|AE|=\sqrt{41}$. Krok 2. Obliczenie długości boku $BE$. Spoglądamy na trójkąt $BCE$. Sytuacja jest analogiczna do tej przed chwilą - to także jest trójkąt prostokątny i to właśnie z niego wyliczymy długość boku $BE$. Odcinek $BC$ ma długość $5cm$, natomiast odcinek $EC$ ma długość $10cm-4cm=6cm$. W związku z tym: $$6^2+5^2=|BE|^2 \ ,\ 36+25=|BE|^2 \ ,\ |BE|^2=61 \ ,\ |BE|=\sqrt{61} \quad\lor\quad |BE|=-\sqrt{61}$$ Ujemny wynik także odrzucamy, zatem zostaje nam $|BE|=\sqrt{61}$. Krok 3. Sprawdzenie, czy trójkąt $ABE$ jest prostokątny. Jeżeli trójkąt miałby być prostokątny to zgodnie z Twierdzeniem Pitagorasa $|AE|^2+|BE|^2$ powinno być równe $|AB|^2$. Jeżeli taka równość nie zajdzie, to trójkąt nie będzie prostokątny. Sprawdźmy zatem ile jest równe $|AE|^2+|BE|^2$: $$|AE|^2+|BE|^2=\sqrt{41}^2+\sqrt{61}^2=41+61=102$$ Teraz sprawdźmy ile jest równe $|AB|^2$: $$|AB|^2=10^2=100$$ Widzimy wyraźnie, że suma kwadratów potencjalnych długości przyprostokątnych jest większa niż kwadrat długości potencjalnej przeciwprostokątnej. Stąd też płynie wniosek, że ten trójkąt nie jest prostokątny, ponieważ $|AE|^2+|EB|^2\gt|AB|^2$.

Teoria:
W trakcie opracowania

Nowa Era