Każda z poniższych figur jest zbudowana z szesnastu jednakowych sześciennych kostek o krawędzi \(1cm\).





Niech \(P_{I}, P_{II}, P_{III}\) oznaczają pola powierzchni całkowitej odpowiednio figur: \(I, II\) i \(III\). Która zależność między polami tych figur jest prawdziwa?

A \(P_{I}\lt P_{II}\lt P_{III}\)
B \(P_{II}\lt P_{I}\lt P_{III}\)
C \(P_{I}=P_{II}\lt P_{III}\)
D \(P_{I}\lt P_{II}=P_{III}\)

Odpowiedź:      

C

Rozwiązanie:      
Tak prawdę mówiąc nie musimy liczyć pole powierzchni jako takiej. Wystarczy, że sprawnie obliczymy liczbę "kwadracików" każdej z podstaw oraz ścian bocznych. Ta figura, która tych "kwadracików" będzie miała najwięcej, będzie miała jednocześnie największe pole powierzchni. Krok 1. Obliczenie pola powierzchni pierwszej figury. W podstawie dolnej i górnej pierwszej figury mamy po \(16\) kwadratów. W każdej z czterech ścian bocznych mamy \(4\) kwadraty. Pole powierzchni będzie więc równe: $$P_{I}=2\cdot16+4\cdot4 \           ,\ P_{I}=32+16 \           ,\ P_{I}=48$$ Krok 2. Obliczenie pola powierzchni drugiej figury. W podstawie dolnej i górnej pierwszej figury mamy po \(8\) kwadratów. W każdej z czterech ścian bocznych mamy \(6\) kwadratów. Ale to nie koniec, bo mamy jeszcze kwadraty wewnątrz naszej bryły - jak się dobrze przyjrzymy, to doliczymy się, że tych wewnętrznych kwadratów jest \(8\) (po dwa na każdej z czterech wewnętrznych ścian). Pole powierzchni będzie więc równe: $$P_{II}=2\cdot8+4\cdot6+8 \           ,\ P_{II}=16+24+8 \           ,\ P_{II}=48$$ Krok 3. Obliczenie pola powierzchni drugiej figury. W podstawie dolnej i górnej pierwszej figury mamy po \(16\) kwadratów. W każdej z czterech ścian bocznych mamy \(5\) kwadratów. I tu także mamy jeszcze kwadraty wewnątrz naszej figury, a jest ich dokładnie \(12\) (po trzy na każdej z czterech wewnętrznych ścian). Pole powierzchni będzie więc równe: $$P_{III}=2\cdot16+4\cdot5+12 \           ,\ P_{III}=32+20+12 \           ,\ P_{III}=64$$ To oznacza, że \(P_{I}=P_{II}\lt P_{III}\).

Teoria:      
W trakcie opracowania