Liczby rzeczywiste \(x, y, z\) spełniają następujące warunki:

$$x,y,z\gt0 \;\text{ oraz }\; x,y,z\neq1 \;\text{ oraz }\; y^z=x$$



Dokończ zdanie. Wybierz dwie właściwe odpowiedzi spośród podanych. Z podanych warunków wynika, że prawdziwe są równości:

A. \(log_{x}y=z\)

B. \(y^{-log_{y}x}=\frac{1}{x}\)

C. \(log_{x}z=y\)

D. \(y^{log_{x}y}=x\)

E. \(log_{y}x=z\)

F. \(z^{-log_{x}z}=\frac{1}{y}\)

Odpowiedź:      

B. oraz E.

Rozwiązanie:      
Pierwsze równanie jesteśmy w stanie ułożyć tak naprawdę z definicji logarytmu, którą znajdziemy w tablicach matematycznych, czyli: $$log_{a}b=c \Leftrightarrow a^c=b$$ Musimy się tylko odpowiednio dopasować symbolami. Z treści zadania wynika, że \(y^z=x\), zatem: $$log_{y}x=z \Leftrightarrow y^z=x$$ To oznacza, że jedną z poprawnych odpowiedzi jest na pewno E. Poszukajmy teraz drugiej odpowiedzi. Również w tablicach znajdziemy takie oto równanie: $$a^{log_{a}b}=b$$ Korzystając z naszych oznaczeń, zapisalibyśmy, że: $$y^{log_{y}x}=x$$ Dokładnie takiej odpowiedzi nie mamy, ale przyglądając się proponowanym odpowiedziom, widzimy, że jesteśmy dość blisko zapisu z odpowiedzi B. Pamiętając o tym, że ujemna potęga związana jest z odwrotnością liczby, moglibyśmy stwierdzić, że: $$y^{-log_{y}x}=\frac{1}{x}$$ Stąd też równie poprawną odpowiedzią będzie równanie z odpowiedzi B.

Teoria:      
W trakcie opracowania